２００４年度数学 II 演習 ’04/7/2 （金）２時限 (10:40〜12:10)

K = ℝ もしくは K = ℂ とする.

問１． V を K-線型空間とし, V の元 v_{1}, ⋯, v_{l} が K 上 V を生成すると仮定する. このとき, V の元 w_{1}, ⋯, w_{k} と lk 個の K の元 {a_{ij}}, 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ m が存在して v_{j} = ∑_{i=1}^{l} a_{ij}w_{i} が任意の j について成り立つとする. このとき w_{1}, ⋯, w_{k} は K 上 V を生成することを示せ.

定義． K-線型空間 V, W の間の K-線型写像 f : V → W について

Im f = {w ∈ W ∃v ∈ V, w = f(v)} ,
Ker f = {v ∈ V f(v) = 0} .

とおいて、それぞれ f の像, f の核という.

問２． f : K^{n} → K^{m} を K-線型写像とする. f の行列表示を A とするとき, 以下を示せ.

1) rank A = dim Im f.

2) n − rank A = dim Ker f.

問３．以下の f : K^{n} → K^{m} に対して, 像と核の次元を決定し, 各々の基底を一組ずつ求めよ. 必要であれば問２の結果を用いてよい.

1) f : K^{4} → K, f ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \\ w \end{matrix} ) = x + 2y + 3z + 4w.

2) f : K^{4} → K^{2}, f ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \\ w \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x + z \\ y − w \end{matrix} ).

3) f : K^{4} → K^{2}, f ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \\ w \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x + y − z − w \\ 3x + 3y − 3z − 3w \end{matrix} ).

4) f : K^{4} → K^{3}, f ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \\ w \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x + y + z \\ y + z + w \\ z + w + x \end{matrix} ).

5) f : K^{4} → K^{4}, f ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \\ w \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x + y + z + w \\ y + z + w \\ z + w \\ w \end{matrix} ).

定義． W_{1}, W_{2} が K-線型空間 V の K-線型部分空間であるとき,

W_{1} + W_{2} = {v ∈ V ∃w_{1} ∈ W_{1}, ∃w_{2} ∈ W_{2}, v = w_{1} + w_{2}}

と定め, W_{1} と W_{2} の和空間という. 上の定義はしばしば

W_{1} + W_{2} = {w_{1} + w_{2} w_{1} ∈ W_{1}, w_{2} ∈ W_{2}}

などと略記される.

問４． W_{1}, W_{2} が K-線型空間 V の K-線型部分空間であるとする.

1) 和空間 W_{1} + W_{2} は V の K-線型部分空間であることを示せ.

2) 共通部分 W_{1} ∩ W_{2} は V の K-線型部分空間であることを示せ.

3) ℝ^{5} の部分空間 W_{1}, W_{2} を

W_{1} = \{ \begin{matrix}2x_{1} + 3x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0 \\ x_{1} + x_{2} + x_{4} − x_{5} = 0 \end{matrix} の解空間\} ,

= \{( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{matrix} ) ∈ ℝ^{5} \begin{matrix}2x_{1} + 3x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0 \\ x_{1} + x_{2} + x_{4} − x_{5} = 0 \end{matrix}\}

W_{2} = \{ \begin{matrix}x_{1} + 2x_{2} + x_{3} + x_{4} − x_{5} = 0 \\ 2x_{1} + x_{2} − x_{3} − 2x_{4} + 6x_{5} = 0 \end{matrix} の解空間\} .

で定めるとき， W_{1} + W_{2} を式で表し, その次元と基底のひとつを求めよ.

4) 3) において, W_{1} ∩ W_{2} を式で表し, その次元と基底のひとつを求めよ.

問５．（参考：第１回目配布プリントの問 11,12）

1) K の元を成分とする m 行 n 列の行列全体の空間 M_{m,n}(K) は行列の和と, 定数倍（K の元との積）により, K-線型空間であることを示せ. M_{m,n}(K) は通常このように K-線型空間とみなす.

2) （K-線型空間としての） M_{m,n}(K) の K 上の基底を一組与え, M_{m,n} の K 上の次元を求めよ.

問６． V, W を（必ずしも K^{n} とは限らない） K-線型空間とし, V から W への K-線型写像全体を Hom_{K}(V, W) であらわす. そして Hom_{K}(V, W) に次のような演算を入れる：

(f + g)(v) = f(v) + g(v), f, g ∈ Hom_{K}(V, W), v ∈ V
(λf)(v) = λ · f(v), λ ∈ K, f ∈ Hom_{K}(V, W), v ∈ V .

1) 上の演算に関して Hom_{K}(V, W) は K-線型空間であることを示せ.

注意：上のように定めた f + g, λf がそもそも Hom_{K}(V, W) の元であるかどうかも確かめる必要がある. また, 第１回目の問 11,12 とは違い, f + g や λf の定義にもはや行列表示は現れていないことにも注意せよ.

2) V = K^{n}, W = K^{m} とする. M_{m,n}(K) の元は, K^{n} から K^{m} への K-線型写像と１対１に対応するのであった. この対応が Hom_{K}(K^{n}, K^{m}) と M_{m,n}(K) の K-線型同型写像であることを示せ.

3) K^{n} の標準基底を e_{1}, …, e_{n}, K^{m} の標準基底を f_{1}, …, f_{m} とする. このとき、次の性質を満たす K-線型写像 φ_{ij} : K^{n} → K^{m}, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, が一意的に存在することを示せ.

φ_{ij}(e_{k}) = \{ \begin{matrix}f_{i} & k = j \\ 0 & k ≠ j \end{matrix}

ヒント： v ∈ K^{n} とすると, v = a_{1}e_{1} + ⋯ + a_{n}e_{n} と一意にかけるのだから, 上の条件で v の像 φ_{ij}(v) は定まってしまう. つまり φ_{ij} は写像としては定まってしまう. この写像 φ_{ij} が K-線型写像であるかどうかが問題である.

4) 3) で与えられる φ_{ij} は (i, j)-成分のみが 1 であるような M_{m,n}(K) の元に対応することを示せ.

5) f を V = K^{n} から V = K^{n} 自身への K-線型写像とする. φ ∈ Hom_{K}(K^{n}, K^{m}) に対して, K^{n} から K^{m} への写像 f^{∗}φ を (f^{∗}φ)(v) = φ(f(v)) と定める. このとき f^{∗}φ ∈ Hom_{K}(K^{n}, K^{m}) であって, さらに対応 φ ↦ f^{∗}φ は K-線型写像であることを示せ.

6) 5) において, f の表現行列を A = (a_{ij}) ∈ M_{n}(K) とする. このとき問４にあるように, φ_{ij} は Hom_{K}(K^{n}, K^{m}) の K 上の基底であるので, これを認めたうえで f^{∗} の φ_{ij} に関する行列表示を求めよ.

問７．（問６の続き）問６の φ_{ij} が Hom_{K}(K^{n}, K^{m}) の基底であることを次にしたがって示せ. 方法 I

1) V,W を K-線型空間, f : V → W を K-線型同型写像とする. e_{1}, …, e_{n} が V の基底であれば f(e_{1}), …, f(e_{n}) は W の基底であることを示せ.

2) 問６の 2), 4) を用いて, φ_{ij} が基底であることを示せ. 方法 II

3) f ∈ Hom_{K}(K^{n}, K^{m}) とする. つまり f を K^{n} から K^{m} への K-線型写像とす

る. このとき,

f = ∑_{\begin{matrix}i=1,··· ,m \\ j=1,··· ,n \end{matrix}} a_{ij}φ_{ij}

なる a_{ij} ∈ K, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n が存在することを示せ.

4) b_{ij} ∈ K, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n が

∑_{\begin{matrix}i=1,··· ,m \\ j=1,··· ,n \end{matrix}} b_{ij}φ_{ij} = 0

を満たすとすると, 任意の i, j について b_{ij} = 0 であることを示せ.

※ 3), 4) から {φ_{ij}} は Hom_{K}(K^{n}, K^{m}) の基底である. 従って Hom_{K}(K^{n}, K^{m})

は mn 次元である. V,W が K^{n} とは限らない場合の Hom_{K}(V, W) も重要であるが, これは後期で扱う予定である.

問８．

1) V = { 数列{a_{i}}_{i=1}^{∞} a_{i} ∈ ℝ} とする. {a_{i}}_{i=1}^{∞}, {b_{i}}_{i=1}^{∞} ∈ V と λ ∈ ℝ に対して

{a_{i}}_{i=1}^{∞} + {b_{i}}_{i=1}^{∞} = {a_{i} + b_{i}}_{i=1}^{∞},
λ{a_{i}}_{i=1}^{∞} = {λa_{i}}_{i=1}^{∞}

で定めるとき， V は ℝ-線型空間となることを示せ.

2) W = {{a_{i}}_{i=1}^{∞} ∈ V a_{i+2} − 5a_{i+1} + 6a_{i} = 0} とする. 1) で定めた演算によって W は ℝ-線型空間となるが, このとき W は有限次元であることを示せ. また具体的な基底を一組与えよ.

3) 1) の V は ℝ 上有限次元ではないことを示せ.