２００４年度数学 II 演習 ’04/6/23 （水）２時限 (10:40〜12:10)

K = ℝ もしくは K = ℂ とする.

問１．次の置換が偶置換であるか奇置換であるか判定せよ．ただし, σ ∈ 𝔖_{n} について, sgn σ = 1 の時 σ は偶置換であると言い, sgn σ = −1 の時 σ は奇置換であると言う.

1) ( \begin{matrix}1 & 2 & ⋯ & k − 1 & k & k + 1 & ⋯ & n − 1 & n \\ n − k + 2 & n − k + 3 & ⋯ & n & 1 & 2 & ⋯ & n − k & n − k + 1 \end{matrix} ).

ただし 1 ≤ k ≤ n.

2) ( \begin{matrix}1 & 2 & ⋯ & n − 1 & n \\ n & n − 1 & ⋯ & 2 & 1 \end{matrix} ).

問２． n 次正方行列

( \begin{matrix}1 & a & a & ⋯ & a \\ a & 1 & a & ⋯ & a \\ a & a & 1 & ⋯ & a \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a & a & a & ⋯ & 1 \end{matrix} )

の行列式を計算し, 逆行列を求めよ. ただし 0 < a < 1 とする.

定義． V を (K^{n} とは限らない)K-線型空間とする. 但し, V ≠ {0} とする. 1) V の元 v_{1}, v_{2}, …, v_{k} が K 上一次独立 (線型独立) であるとは,

a_{1}, ⋯, a_{k} ∈ K, a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + ⋯ + a_{k}v_{k} = 0 ⟹ a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{k} = 0

が成り立つことを言う.

2) V の元 v_{1}, v_{2}, …, v_{l} が K 上 V を生成するとは

∀v ∈ V, ∃a_{1}, a_{2}, …, a_{k} s.t. v = a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + ⋯ + a_{l}v_{l}

なることを言う.

3) V の元 v_{1}, v_{2}, …, v_{m} が K 上の V の基底であるとは, v_{1}, v_{2}, ⋯, v_{m} が K 上一次独立であって, かつ K 上 V を生成することをいう.

注意．要するに, V = K^{n} の時の定義をそのまま用いる.

問３．次のベクトルの組が ℝ 上一次独立であるか, また与えられた V を生成するか調べよ.

1) V = ℝ^{3}, v_{1} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ), v_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ), v_{3} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ).

2) V = ℝ^{3}, v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ), v_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ), v_{3} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ).

3) V = ℝ^{4}, v_{1} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ), v_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \end{matrix} ), v_{3} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ).

4) V = ℝ^{4}, v_{1} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ), v_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \end{matrix} ), v_{3} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ), v_{4} = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} ), v_{5} = ( \begin{matrix}0 \\ 2 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ).

5) V = {f : ℝ → ℝ f は C^{∞} 級}, v_{0} = 1, v_{1} = t, v_{2} = t^{2}. ここで, 1 で常に 1 であるような定数函数を表す. また, t を実変数とする.

6) V = {f : ℝ → ℝ f は C^{∞} 級}, v_{0} = 1, v_{1} = t, v_{2} = t^{2}, …, v_{n} = t^{n}. ここで, 1 で常に 1 であるような定数函数を表す. また, t を実変数とする.

7) V = { 高々n 次の t に関する ℝ 係数の多項式 }, v_{0} = 1, v_{1} = t, v_{2} = t^{2}, …, v_{n} = t^{n}. ここで, 1 で多項式としての 1 を表す.

問４． V = \{f : ℝ → ℝ f は C^{∞} 級であって\frac{df}{dt} = λfを満たす.\} とする. ここで t は函数の変数であって, λ ∈ ℝ である. このとき V の ℝ 上の基底を求めよ. 必要であれば\frac{df}{dt} = λf の一般解は f(t) = ce^{λt}, c ∈ ℝ で与えられることを用いてよい.

問５． V = \{f : ℝ → ℝ f は C^{∞} 級であって\frac{d^{2}f}{dt^{2}} = −fを満たす.\} とする. ここで t は函数の変数である.

1) このとき V の ℝ 上の基底を求めよ. 必要であれば\frac{d^{2}f}{dt^{2}} = −f の一般解は f(t) = c_{1} cos t + c_{2} sin t, c_{1}, c_{2} ∈ ℝ で与えられることを用いてよい.

2) 変数は実数のままで, 函数の値としては複素数を許すことにする. つまり f : ℝ → ℂ とする. このとき f_{1}(t) = e^{\sqrt{−1}t}, f_{2}(t) = e^{−\sqrt{−1}t} とすると \{f_{1}, f_{2}\} は V の ℂ 上の基底であることを示せ. 必要であれば e^{\sqrt{−1}t} = cos t+\sqrt{−1} sin t であることを用いてよい. また, 函数が複素数値であっても一般解は 1) と同様の式 (ただし, c_{1}, c_{2} ∈ ℂ) で与えられることを用いてよい.

問６． V = ℂ^{n} とする. v_{1}, v_{2} ⋯, v_{k} ∈ V について次を示せ.

1) v_{1}, v_{2}, …, v_{k} が ℂ 上一次独立であれば v_{1}, v_{2}, …, v_{k} は ℝ 上一次独立であることを示せ.

2) v_{1}, v_{2}, …, v_{k} が ℝ 上一次独立であるとする. さらに全ての v_{i} は ℝ^{n} に属するとする. つまり全ての成分が実数であるとする. このとき v_{1}, v_{2}, …, v_{k} は ℂ 上一次独立であることを示せ. ヒント： a_{1}, …, a_{k} ∈ ℂ, a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + ⋯ + a_{k}v_{k} = 0 と仮定する (示したいことは a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{k} = 0 である). この式を実部と虚部に分けてみよ.

3) v_{1}, v_{2}, …, v_{k} が ℝ 上一次独立であるが, ℂ 上一次独立でない例を挙げよ.