２００４年度数学 II 演習 ’04/6/9 （水）２時限 (10:40〜12:10)

K = ℝ もしくは K = ℂ とする.

問１．次の行列の行列式を求めよ.

1) ( \begin{matrix}2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ −1 & 0 & 4 \end{matrix} ) 2) ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & −1 \\ 3 & 1 & 2 & 4 \\ 1 & −1 & 0 & 5 \\ 2 & −3 & 1 & 2 \end{matrix} ) 3) ( \begin{matrix}1 & 1 & ⋯ & 1 \\ x_{1} & x_{2} & ⋯ & x_{n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ x_{1}^{n−1} & x_{2}^{n−1} & ⋯ & x_{n}^{n−1} \end{matrix} )

問２． M_{n}(K) の元 P_{n}(i, j), Q_{n}(i; λ), R_{n}(i, j; μ) を（講義と同様に）以下のように定める（ただし, λ ≠ 0, i ≠ j とする） . すなわち, P_{n}(i, j) = (p_{kl}), Q_{n}(i; λ) = (q_{kl}), R_{n}(i, j; μ) = (r_{kl}) とするとき,

p_{kl} = \{ \begin{matrix}1 & k = l ≠ i, j, (k, l) = (i, j), (k, l) = (j, i) \\ 0 & その他 \end{matrix}

q_{kl} = \{ \begin{matrix}1 & k = l ≠ i \\ λ & (k, l) = (i, i) \\ 0 & その他 \end{matrix}

r_{kl} = \{ \begin{matrix}1 & k = l \\ μ & (k, l) = (i, j) \\ 0 & その他 \end{matrix}

がそれぞれ成り立っているとする.

1) det P_{n}(i, j), det Q_{n}(i; λ), det R_{n}(i, j; μ) を求めよ.

2) 行列の基本変形を用いて行列式を求める方法を考え, 説明せよ. ヒント： A, B ∈ M_{n}(K) の時, det AB = det A det B が成り立つのであった.

問３．行列式は多重線型性と交代性を持つ. このことを問２の行列 P_{n}(i, j), Q_{n}(i; λ), R_{n}(i, j; μ) と性質 det AB = det A det B （A, B ∈ M_{n}(K)）を用いて説明せよ.

問４． v_{1}, …, v_{l} ∈ K^{n} が K-上一次独立であるとは a_{1}, …, a_{l} ∈ K とするとき

a_{1}v_{1} + ⋯ + a_{l}v_{l} = 0 ⟹ a_{1} = ⋯ = a_{l} = 0

が成り立つことであった. これにならって, v_{1}, …, v_{l} ∈ K^{n} が K-上一次従属であるということを数式（論理式）で表せ. ヒント：上の論理式は

∀a_{1}, …, a_{l} ∈ K, (a_{1}v_{1} + ⋯ + a_{l}v_{l} = 0 ⟹ a_{1} = ⋯ = a_{l} = 0)

と読み替えることができる.

問５． (l, k) 型の行列 A の区分けとは， A を

A = ( \begin{matrix}A_{11} & A_{12} & ⋯ & A_{1q} \\ A_{21} & A_{22} & ⋯ & A_{2q} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ A_{p1} & A_{p2} & ⋯ & A_{pq} \end{matrix} )

のように，より小さい型の行列たちを用いて表すことである．ここで， A_{ij} はそれぞれ (l_{i}, k_{j}) 型の行列で， l = l_{1} + ⋯ + l_{p}, k = k_{1} + ⋯ + k_{q} である. 一方， (k, m) 型の行列 B を

B = ( \begin{matrix}B_{11} & B_{12} & ⋯ & B_{1r} \\ B_{21} & B_{22} & ⋯ & B_{2r} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ B_{q1} & B_{q2} & ⋯ & B_{qr} \end{matrix} )

と，各 B_{ij} が (k_{i}, m_{j}) 型の行列となるように区分けする. ここで, A の列の区分けと， B の行の区分けの仕方が一致していることに注意せよ．このとき, 行列 C = AB は (l, m) 型の行列であることに注意して

C = ( \begin{matrix}C_{11} & C_{12} & ⋯ & C_{1r} \\ C_{21} & C_{22} & ⋯ & C_{2r} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ C_{p1} & C_{p2} & ⋯ & C_{pr} \end{matrix} )

と，各 C_{ij} が (l_{i}, m_{j}) 型の行列となるように区分けすると,

C_{ij} = ∑_{t=1}^{k} A_{it}B_{tj}

であることを示せ．

問６．行列 A が

A = ( \begin{matrix}A_{11} & A_{12} & ⋯ & A_{1q} \\ A_{21} & A_{22} & ⋯ & A_{2q} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ A_{p1} & A_{p2} & ⋯ & A_{pq} \end{matrix} )

のように区分けされているとき．^{t}A を A_{ij} を用いて表せ.

問７．行列の区分けを用いて， 5/12 の問 11 を以下の手順で示せ．（ヒント：正方行列を行，列ともに 1 + (n − 1) の型で区分けをして n に関する帰納法を使う．）

i) 二つの上三角行列の積はまた上三角行列になることを示す． ii) A の (i, i) 成分を a_{ii} とすると， A^{p} の (i, i) 成分は a_{ii}^{p} となることを示す． iii) 問の主張を示す．

問８． A ∈ M_{n}(K) が A = ( \begin{matrix}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} ) と区分けされているとする. ここで A_{11} ∈ M_{n_{1}}(K), A_{22} ∈ M_{n_{2}}(K) とする.

1) A_{12}, A_{21} のサイズを求めよ.

2) A_{21} = 0 のとき, det A = det A_{11} det A_{22} であることを示せ.

問９．

1) A ∈ M_{n}(ℝ) が A^{t}A = I_{n} を満たすとすると, A は正則であって, det A = ±1 であることを示せ.

2) A ∈ M_{n}(ℂ) が A^{t}\overline{A} = I_{n} を満たすとすると, A は正則であって, |det A| = 1 であることを示せ.

問 10．任意の n 次の置換 σ ∈ 𝔖_{n} はいくつかの互換の積で表されることを示せ. ヒント：たとえば次のように考えることができる. まず σ(1), σ(2), …, σ(n) を 1, 2, …, n に並べ替える置換を互換の積として表す（これは実は易しい） . この置換は σ^{−1} であるはずなので, その逆写像を考えれば σ = (σ^{−1})^{−1} = (互換の積)^{−1} と書けたことになる. 右辺が実は互換の積として書けることを示せばよい（これも実は易しい） .

問 11． σ ∈ 𝔖_{n} に対して, K-線型写像 f_{σ} : K^{n} → K^{n} を

f_{σ} ( x_{1} ; x_{2} ; ⋮ ; x_{n} ) = ( x_{σ(1)} ; x_{σ(2)} ; ⋮ ; x_{σ(n)} )

で定める. f_{σ} を行列表示し, その行列を F_{σ} とするとき det F_{σ} を求めよ.

問 12． A ∈ M_{n}(K) を列ベクトルにより A = (a_{1}, …, a_{n}) と表す.

1) a_{1}, …, a_{n} が K 上一次従属であれば, det A = 0 であることを示せ.

2) a_{1}, …, a_{n} が K 上一次独立であれば, det A ≠ 0 であることを示せ.

ヒント：たとえば行列の基本変形を用いる.