２００１年度幾何学Ｂ演習（第 13 回；最終回） ’02/1/24 10:50〜12:20

問１．以下では次の事実を用いてよい： S^{2} = ℂ ∪ {∞} とみなすことが出来る。さらに、 z の（複素数を係数とする）多項式 f を写像 ℂ → ℂ とみなすと、これはいつでも F : S^{2} → S^{2} で、 F |_{ℂ} = f を満たす微分同相写像に一意的に拡張できる。この拡張は、 f が定数関数でなければ F (∞) = ∞ を満たす。

1) F : S^{2} → S^{2} を F |_{ℂ}(z) = z^{2} で定めるとき、 ℂ \ {0} は F の正則点のみからなることを示せ。

2) 上の F の写像度を求めよ。

3) 一般に F_{n} : S^{2} → S^{2} を F_{n}|_{ℂ} = z^{n} で定めるとき、 ℂ \ {0} は F の正則点のみからなることを示し、 F_{n} の写像度を求めよ。

4) F_{n}, F_{m} を 3) のようにして得られる写像とするとき、 F_{n} ∘ F_{m} の写像度を求

めよ。問２．次のベクトル場の特異点の指数を求めよ。

1) 2)

3) 4)

問３．以下の図形に零点のない連続なベクトル場を一つずつ構成せよ。

1) 2)

3) 4)

問４．写像 f : ℝ^{2} → ℝ を f(x, y) = ax + by で定める。ここで、 (a, b) ≠ (0, 0) とする。また、 g = f|_{S^{1}} （S^{1} = {x^{2} + y^{2} = 1} への制限）とする。

1) f の臨界値と臨界点の集合を求めよ。

2) g の臨界値と臨界点の集合を求めよ（臨界点は二つあるはず）。

3) 2) で求めた臨界点を p, q とするとき、 S^{1} と f(x, y) = ax + by = f(p), f(x, y) = f(q) のグラフを描け。

4) ρ = x^{2} + y^{2} − 1 とする（と、 S^{1} = {ρ = 0} である）。 F = f + λρ とすると

き、 DF = (\frac{∂F}{∂x} , \frac{∂F}{∂y} ) を求めよ。

5) DF = 0、 ρ = 0 を解き、 2) で求めた臨界点 p, q と一致することを確かめよ（解は λ を用いずに表示せよ）。

6) DF = Df + λDρ であることを示し、 DF = 0, ρ = 0 の幾何学的な意味を説明せよ。ヒント： ρ = 0 はもちろん「(x, y) が S^{1} 上にある」ことを意味するので、問題は DF = 0 の意味である。 Df と Dρ をベクトルとみなし、上の式がこれらの間のどのような関係を示すか考えよ。

自習． f : ℝ^{3} → ℝ を f(x, y, z) = ax + by + cz, (a, b, c) ≠ (0, 0, 0) で定め、 g を f の単位球面への制限とする。このとき問４と同じことを行え（1)〜6)）