２００１年度幾何学Ｂ演習（第 12 回） ’02/1/17 10:50〜12:20

問１．（5) 以外は易しい） 1) (−1, 1) と ℝ は微分同相であることを示せ。

2) (0, ∞) と ℝ は微分同相であることを示せ。

3) D^{2} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} x^{2} + y^{2} < 1} と ℝ^{2} は微分同相であることを示せ。

4) I^{2} = (−1, 1) × (−1, 1) と ℝ^{2} は微分同相であることを示せ。

5) S^{1} と ℝ は同相でないことを示せ。

問２． M_{2}(ℝ) で 2 行 2 列の実数を成分とする行列全体をあらわす。 A ∈ M_{2}(ℝ) を成分で A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) と書いて、 A と (a, b, c, d) を対応させることにより M_{2}(ℝ) と

ℝ^{4} を同一視する。

1) M_{2}(ℝ) 上の ℝ^{3}-値函数 f を f (( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} )) = ( \begin{matrix}a^{2} + b^{2} \\ c^{2} + d^{2} \\ ac + bd \end{matrix} ) で定めると、 f は

滑らかであることを示せ。

2) a^{2} + b^{2} = 1, c^{2} + d^{2} = 1, ac + bd = 0 であるとすると、 (ad − bc)^{2} = 1 であることを示せ。

3) f の微分 Df を計算し、その 3 次の小行列式（４つある）を全て求めよ。 4) (1, 1, 0) ∈ ℝ^{3} は f の正則値であることを示せ。

ヒント：f^{−1}(1, 1, 0) が臨界点を含まなければ良い。言い換えれば、 a^{2}+b^{2} = 1, c^{2} + d^{2} = 1, ac + bd = 0 が成り立っているときに f の微分 Df の rank が常に 3 であれば良い。これは 3) を用いれば判定が可能な条件である。場合によっては 2) も使うと良い。

5) f^{−1}(1, 1, 0) = \{( \begin{matrix}cos θ & − sin θ \\ sin θ & cos θ \end{matrix} ) θ ∈ ℝ\}∪\{( \begin{matrix}cos θ & sin θ \\ sin θ & − cos θ \end{matrix} ) θ ∈ ℝ\} で

あることを示せ。上の f^{−1}(1, 1, 0) を O(2) と書いて二次の直交群と呼ぶ。その名のとおり O(2) は群である。また、 4) （もしくは 5)）から O(2) は 1-次元多様体である。

問３． G = M_{2}(ℝ) と置く。

1) prod : G × G → G を prod(A, B) = AB （行列の積）で定めると、これは連続であることを示せ。

2) f : G → G を f(A) = ^{t}A で定めると f は連続であることを示せ。

3) G′ = SL(2; ℝ) とし、 inv : G′ → G′ を inv(A) = A^{−1} （逆行列）で定めると、これは連続であることを示せ。

4) h : G′ → G′ を h(A) = (^{t}A)^{−1} で定めると、 h は準同型写像であることを示せ。

5) 4) の h は連続であることを示せ。問４． ℝP^{2} = {ℝ^{3} 内の原点を含む平面} とすると、 ℝP^{2} は 2-次元多様体であることを示せ。ヒント： ℝP^{1} の時と同様に法ベクトルを考えるとよい。実際には

ℝP^{2} = {[a : b : c] a, b, c ∈ ℝ, a, b, c のいずれかは 0 ではない。 }

となる。ただし、

[a : b : c] = [a′ : b′ : c′] ⇔ ∃λ ≠ 0 s.t. (a′, b′, c′) = λ(a, b, c)

と定める。

問５． {ℝ^{3} 内の原点を通る直線} は実は ℝP^{2} と同一視できることを示せ。

問６．次の集合は多様体とみなすことが出来ることを示せ（括弧内の集合と一致する筈である）。

1) {ℝ^{2}内のベクトル} (ℝ^{2} × ℝ^{2}）。

2) {ℝ^{3}内の球面} （ℝ^{3} × ℝ_{+}）。

3) {2 × 2-行列で、対称なもの } （ℝ^{3}）。

4) {ℝ^{2}内の直線} (ℝ^{2} × ℝP^{1}）。

5) {ℝ^{2}内の放物線} （ℝ^{2} × S^{1} × ℝ_{+}）ヒント：原点が頂点で第１・第２象限内に存在する放物線は y = ax^{2}, a > 0 と書ける。 S^{1} がなぜ出てくるのか良く分からない場合には次の問７も参考にせよ。

問７． {ℝ^{2}内の原点を通る向きのついた直線} は S^{1} と同一視できることを示せ。従ってこの集合は多様体であると考えることができる。

問８． ℝP^{1} = {ℝ^{2}内の原点を通る直線} は 1-次元多様体であった。

1) ℝP^{1} は S^{1} に微分同相であることを示せ。ヒント： ℝP^{1} は「S^{1} の半分」であった。

2) ℓ ∈ {ℝ^{2}内の原点を通る向きのついた直線} とする。つまり ℓ を ℝ^{2} 内の原点を通る向きのついた直線とする。これは向きを忘れることにより自然に ℝP^{1} の元とみなすことが出来る。言い換えれば写像 π : S^{1} → ℝP^{1} で、

π(向きのついた直線ℓ) = ℓの向きを忘れたもの

なるものを考えることが出来る。このとき、 π は滑らかな写像であることを示せ。ヒント： 1) の微分同相 ℝP^{1} ≅ S^{1} をうまく取ると、 π : S^{1} → ℝP^{1} ≅ S^{1} は π(θ) = 2θ と書ける。ここで、 θ は点 (cos θ, sin θ) を表すものとする。