２００１年度幾何学Ｂ演習（第 11 回） ’02/1/10 10:50〜12:20

問１．開区間 A, B を A = (−5, 2), B = (−2, 5) で定める。 C = A ∪ B とすると、 C = (−5, 5) である。

1) f を C 上の滑らかな函数とする。 f の A への制限を f|_{A}, B への制限を f|_{B} とそれぞれ置くと、 A ∩ B 上では f|_{A} = f|_{B} であることを示せ。

2) 1) とは逆に A 上定義された函数 g と B 上定義された函数 h が g|_{A∩B} = h|_{A∩B} を満たすとする。このとき、 C = A ∪ B 上の函数 f を

f(x) = \{ \begin{matrix}g(x) & if x ∈ A \\ h(x) & if x ∈ B \end{matrix}

で定めると f は矛盾なく定義されていることを確かめよ。つまり、 x ∈ C を勝手に取ってきたときに f(x) がただ一通りに定まっていることを示せ。このことを f は well-defined であるという。ヒント：x （の値）によっては右辺の両方の場合が当てはまってしまい、 f(x) = g(x) でなければいけない一方、 f(x) = h(x) でないといけない。それでも矛盾が起きないためにはどうなっていないといけないか考えよ。

3) g, h が滑らかであれば上のようにして定まった f は C 上の滑らかな函数であることを示せ。

問２．開区間 C_{1}, C_{2}, C_{3} を C_{1} = (−\frac{π}{2} _{,} \frac{π}{2} ), C_{2} = (\frac{π}{4} _{,} \frac{5π}{4} ), C_{3} = (π, 2π) で定

める。

1) ψ_{i} : C_{i} → ℝ^{2} を ψ_{i}(θ) = (cos θ, sin θ) で定める。 U_{1} = ψ_{1}(C_{1}), U_{2} = ψ_{2}(C_{2}), U_{3} = ψ_{3}(C_{3}) と定めるとき、 U_{1}, U_{2}, U_{3} を図示し、さらに、 U_{1} ∪U_{2} ∪U_{3} = S^{1} であることを示せ。

2) ψ_{i} : C_{i} → U_{i} は同相写像であることを示せ。

3) φ_{i} : U_{i} → C_{i} を φ_{i} = ψ_{i}^{−1} で定める。このとき、 φ_{i} ∘ φ_{j}^{−1} の定義域を求め、さらに φ_{i} ∘ φ_{j}^{−1} を具体的に式であらわせ。ただし、 i, j は 1, 2 もしくは 3 とする。ヒント：しかるべき定義域では φ_{i} ∘ φ_{j}^{−1} = (φ_{j} ∘ φ_{i}^{−1})^{−1} が成り立つはずである。

4) f_{i} を U_{i} 上で定義された函数とする。 U_{i} ∩ U_{j} 上で f_{i} = f_{j} が成り立っているとするとき、 F : S^{1} → ℝ を

F (p) = \{ \begin{matrix}f_{1}(p) & if p ∈ U_{1} \\ f_{2}(p) & if p ∈ U_{2} \\ f_{3}(p) & if p ∈ U_{3} \end{matrix}

で定めると、これは矛盾なく定まっていることを示せ。

5) f_{i} が全て滑らかであれば（すなわち、 f_{i} ∘ φ_{i} が C_{i} 上の滑らかな函数であれば） F も滑らかであることを示せ。問３． f : ℝ → ℝ を滑らかな函数とし、変数を t とする。

1) f(t) = f(t + 1) であるとすると、任意の整数 n について f(t) = f(t + n) であることを示せ。

2) 群としての商 ℝ/ℤ を考え、 t ∈ ℝ の同値類を [t] で表す。 f(t) = f(t + 1) で

あるとするとき、\overline{f} : ℝ/ℤ → ℝ を次のように定める、すなわち i) まず [t] ∈ ℝ/ℤ に対して [s] = [t] となるような s を一つ選ぶ。 ii) \overline{f}([t]) = f(s) と置く。すると\overline{f} は well-defined であることを示せ。つま

り、右辺は s の選び方によらないことを示せ。ヒント： s = t ならもちろん [s] = [t] だが、 [s] = [t] だからといって s = t とは限らない。実際、任意の整数 n について [t + n] = [t] である。したがってたとえば\overline{f}([t]) = f(t + 100) などといって定めようとする人が出てくるかもしれないが、条件をうまくつかうと別にこれはこれで困らないことがわかる。

3) ℝ/ℤ に ℝ からの商位相をいれると\overline{f} は連続であることを示せ。

4) \overline{f} は滑らかであることを示せ。ヒント： [t] ∈ ℝ/ℤ について、 ϵ > 0 を十分小さく取れば (t − ϵ, t + ϵ) ⊂ ℝ の中に同値類の代表元がひとつずつしか入らないように出来る。言い換えれば、 {[s] ∈ ℝ/ℤ s ∈ (t − ϵ, t + ϵ)} と (t − ϵ, t + ϵ) は事実上同じ集合にする（同相になるようにする）ことが出来る。

問４． f : (−1, 1) → ℝ を f(t) = t^{2} で定める。 1) (−1, 1) は（自然に）滑らかな多様体であることを示せ。

2) g : (−2, 1) → (−1, 1) を

g(s) = \{ \begin{matrix}\frac{s}{2} & if s ≤ 0 \\ s & if s ≥ 0 \end{matrix}

で定めるとき、 g と f ∘ g のグラフを描き、それぞれの函数が滑らかかどうか判定せよ。

3) g は同相写像であることを示せ。

4) h : (−1, 1) → ℝ を

h(t) = \{ \begin{matrix}2t & if t ≤ 0 \\ t & if t ≥ 0 \end{matrix}

で定める。 g′ : (−1, 1) → (−1, 1) を g′(s) = s と定めると、 h ∘ g′ は滑らかではないが、 h ∘ g は滑らかであることを示せ。

注．問４が示すように、「滑らかな函数」という概念は座標系の取り方に依る（「座標の取り方」にはよらない；座標系というのは多様体を覆う座標（開集合と写像の組）一セットのことである）。

問５． f(t) = \{ \begin{matrix}e^{− \frac{1}{t}} & if t > 0 \\ 0 & if t ≤ 0 \end{matrix} とする。

1) f(t) のグラフの概形を描き、 f(t) は ℝ 上の滑らかな函数であることを示せ。 2) g(t) = f(t + 1)f(1 − t) と置くとき、 g(t) の概形を描き、特に

i) g(t) ≥ 0, g(t) = 0 ⇔ |t| ≥ 1 ii) g(−t) = g(t) iii) 適当な M > 0 が存在して任意の t について g(t) < M

の三つが成り立つことを示せ。

3) H = ∫_{−∞}^{∞} g(t)dt と置くと、 H < ∞ であることを示せ。

ヒント： i) と iii) を適当に組み合わせて用いる。

4) h(t) = \frac{1}{H} ∫_{−∞}^{t} g(s)ds と置くと、 h は滑らかな函数で i) h(t) = 0 if t ≤ −1 ii) h(t) = 1 if t ≥ 1

iii) \frac{dh}{dt} ≥ 0, \frac{dh}{dt} = 0 ⇔ |t| ≥ 1

であることを示せ。

5) h(t) の概形を描け。

6) h_{a,b} : ℝ → ℝ で i) h_{a,b}(t) = 0 if t ≤ a ii) h_{a,b}(t) = 1 if t ≥ b

iii) \frac{dh_{a,b}}{dt} ≥ 0, \frac{dh_{a,b}}{dt} = 0 ⇔ t ≤ a or t ≥ b

なるものを h を用いて構成せよ。

7) 滑らかな函数 h̃ : ℝ^{n} → ℝ で、 i) h̃(p) = 0 if ∥p∥ ≥ 2 ii) h̃(p) = 1 if ∥p∥ ≤ 1 iii) 0 ≤ h̃(p) ≤ 1 なるものを構成せよ。ヒント： h_{−2,−1}(−t) もしくは 1 − h_{1,2}(t) を用いるとよい。ただし、これは ℝ 上の函数であるから何とかして ℝ^{n} 上の函数にしないといけない。

問６．開区間 U_{i} を U_{i} = (i − 2, i + 2) で定める。問３の g を用いて λ_{i}(t) = g(t − i) とする。

1) λ_{i} の概形を描け。特に supp λ_{i} = \overline{\{t ∈ U_{i} λ_{i}(t) ≠ 0\}} と置くと、 supp λ_{i} = [i − 1, i + 1] であることを示せ。

2) Λ(x) = ∑_{x∈U_{i}であるようなi} λ_{i}(x) とおくと、 Λ(x) < ∞ であって、なおかつ Λ(x)

は決して 0 にならないことを示せ。ヒント：「x ∈ U_{i} であるような i」がどれくらいあるか考えてみよ。それほど沢山はない。

3) Λ は滑らかな函数であることを示せ。ヒント：例えば x ∈ (−1, 0) のとき Λ(x) = λ_{−2}(x) + λ_{−1}(x) + λ_{0}(x) + λ_{1}(x) であるから、 Λ は (−1, 0) 上では滑らかである。一般にはどうか。

4) μ_{i}(x) = \frac{λ_{i}(x)}{Λ(x)} で定めると、

i) supp μ_{i} ⊂ U_{i}
ii) 0 ≤ μ_{i} ≤ 1
iii) ∑_{i=−∞}^{∞} μ_{i}(x) は x を固定すると有限和で、しかもその値は 1 である。

このような {μ_{i}} を {U_{i}} に付随する（従属する） 1 の分割という。

注． λ_{i} は ℝ 全体で定義したが、実際には supp λ_{i} ⊂ U_{i}, λ_{i} ≥ 0 であって、適当な（適切な）集合上では λ_{i} > 0 となるような函数を見つけてくればよい。実際、 λ′ がこのような性質をもつ函数であったとして、 λ̃′ を

λ̃′(x) = \{ \begin{matrix}λ′(x) & x ∈ U_{i} \\ 0 & x ∉ U_{i} \end{matrix}

とすれば λ̃′ は ℝ 上で定義された滑らかな関数である。この議論は U_{i} が多様体（何次元でもよい）の開集合であってもほとんどそのまま適用できることに注意せよ。

問７． {U_{i}}, {μ_{i}} を問６のように定める。 f : ℝ → ℝ を滑らかな函数で、 x ∉ [−5, 5] ならば f(x) = 0 であるようなものとする。このとき、

1) ∫_{−∞}^{∞} f(x)dx = ∫_{−5}^{5} f(x)dx であって、しかもその値は有限であることを示せ。

左辺を ∫_{ℝ} fdx とあらわす。

2) f_{i} = fμ_{i} と定めると、有限個の例外を除いて f_{i} は函数として 0 であることを示せ。

3) 等式

∑_{i=−∞}^{∞} ∫_{ℝ} f_{i}dx = ∫_{ℝ} ∑_{i=−∞}^{∞} f_{i}dx = ∫_{ℝ} fdx

を示せ。

ヒント：本来は積分と無限和（極限）の交換であって証明は面倒になりがちであるが、ここでは和は実は有限和であることをまず 2) を用いて示せ。具体的な積分の計算はしなくても証明できるはずである。

4) 上の等式は supp f がコンパクト（有界閉集合）であれば成り立つことを示せ。ここで supp f = \overline{\{x ∈ ℝ f(x) ≠ 0\}} である。

問８．問２のように S^{1} = U_{1} ∪ U_{2} ∪ U_{3} として開被覆 {U_{i}} に付随した 1 の分割を構成せよ。