２００１年度幾何学Ｂ演習（第 10 回） ’01/12/20 10:50〜12:20

定義１． M を多様体とする。任意の座標近傍 (U, φ) について φ(U) ⊂ ℝ^{n} 上に滑らかな Riemann 計量 g_{U} が与えられているとする。 (U, φ), (V, ψ) を座標近傍で U ∩V ≠ ϕ であるものとすると (ψ ∘ φ^{−1})^{∗}g_{V} = g_{U} が成り立つとき、 {g_{U}} は M 上の Riemann 計量であるという。普通は {g_{U}} を単に g と書いて、 g を M 上の Riemann 計量と呼ぶ。

以下では U = V = ℝ^{2} とし、 (x_{1}, x_{2}) を U の、 (y_{1}, y_{2}) を V の Euclid 座標とする。また、 S^{2} を ℝ^{3} 内の単位球面とする（以下の話は本当は S^{2} ⊂ ℝ^{3} である必要は無い）。また、

f : U → S^{2} を f(x_{1}, x_{2}) = (\frac{2x_{1}}{1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} , \frac{2x_{2}}{1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} , \frac{−1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} ) で定め、

g : V → S^{2} を g(y_{1}, y_{2}) = (\frac{2y_{1}}{1 + y_{1}^{2} + y_{2}^{2}} , \frac{−2y_{2}}{1 + y_{1}^{2} + y_{2}^{2}} , \frac{1 − y_{1}^{2} − y_{2}^{2}}{1 + y_{1}^{2} + y_{2}^{2}} ) で定める。

問２． 1) U′ = f(U), V′ = g(V), U′ ∩ V′ を求めよ。

2) f は U から U′ への同相写像であることを示せ。

3) f の逆写像を φ, g の逆写像を ψ とする。 φ, ψ の定義域は S^{2} の部分集合であるが、これらを求めよ。

4) φ^{−1} の定義域を求め、そこでは ψ ∘ φ^{−1} は

ψ ∘ φ^{−1}(x_{1}, x_{2}) = (\frac{x_{1}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} , \frac{−x_{2}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} )

を満たすことを示せ。

5) ψ ∘ φ^{−1} はその定義域と値域の間の微分同相写像であることを確かめよ。

問３． U 上の Riemann 計量 g_{U} を

g_{U} = \frac{1}{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2})^{2}} (dx_{1} · dx_{1} + dx_{2} · dx_{2})

で定める。 1) (φ ∘ ψ^{−1})^{∗}g_{U} を求め、 V \ {0} 上ではこれは V 上の Riemann 計量

g_{V} = \frac{1}{(1 + y_{1}^{2} + y_{2}^{2})^{2}} (dy_{1} · dy_{1} + dy_{2} · dy_{2})

と一致していることを示せ（ヒント：局座標を用いると比較的簡単）。定義１から {g_{U}, g_{V} } は S^{2} 上の Riemann 計量を定めていることに注意。 2) ℓ : (−ϵ, ϵ) → S^{2} を φ ∘ ℓ(t) = (1 + t, 0) で定まる S^{2} 上の曲線とする。これを

図示せよ。

3) v_{U} = \frac{∂(φ ∘ ℓ)}{∂t} とするとき g_{U}(v_{U}, v_{U}) を求めよ。

4) v_{V} = \frac{∂(ψ ∘ ℓ)}{∂t} とするとき g_{V} (v_{V} , v_{V}) は実は g_{U}(v_{U}, v_{U}) に等しいことを示せ。そこで、 v を ℓ で定まる S^{2} の接ベクトルとするとき、 g(v, v) を g(v, v) = g_{U}(v_{U}, v_{U}) で定める。

問４． U 上の 2-形式 ω_{U} を ω_{U} = \frac{1}{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2})^{2}} dx_{1} ∧ dx_{2} で定める。一方、 V 上

の 2-形式 ω_{V} を ω_{V} = \frac{1}{(1 + y_{1}^{2} + y_{2}^{2})^{2}} dy_{1} ∧ dy_{2} で定める。このとき、

(ψ ∘ φ^{−1})^{∗}ω_{V} = ω_{U}

が U の開集合 φ^{−1}(V \ {0}) 上で成り立つことを示せ。

注． ω_{U} と g_{U} の形が似ているのは偶然ではない。

問５． g を U の Riemann 計量で、 g = g_{11}dx_{1}·dx_{1}+2g_{12}dx_{1}·dx_{2}+g_{22}dx_{2}·dx_{2} と表されるものであるとする。 φ : V → U を微分同相写像とする。ここで、 G = ( \begin{matrix}g_{11} & g_{12} \\ g_{12} & g_{22} \end{matrix} )

として、 H = (^{t}Dφ)G(Dφ) と定める（^{t} は転置を表す）。

1) H は対称行列であることを示せ。即ち H = ( \begin{matrix}h_{11} & h_{12} \\ h_{12} & h_{22} \end{matrix} ) と書くことが出来

ることを示せ。

2) 上のように H を表すと φ^{∗}g = h_{11}dy_{1} · dy_{1} + 2h_{12}dy_{1} · dy_{2} + h_{22}dy_{2} · dy_{2} であることを示せ。

3) ω = \sqrt{det G}dx_{1} ∧ dx_{2} とするとき、 φ^{∗}ω = \sqrt{det G ∘ φ}(det Dφ)dy_{1} ∧ dy_{2} であることを示せ。

4) det Dφ > 0 を仮定すると φ^{∗}ω = \sqrt{det H}dy_{1} ∧ dy_{2} であることを示せ。

5) 問３の g から 3) のようにして問４の ω が定まることを確かめよ。

注．一般に、向きがつく n-次元多様体 M に Riemann 計量が定まると自然に M に n-形式が定まる。この n-形式のことを体積要素という（先学期は面積要素と呼んだかもしれない）。実際にこの n-形式を「積分」することによって M の体積が定まるが、今回はこれは扱わない。興味があれば自習すること。

注．問４は {ω_{U}, ω_{V} } は S^{2} 上の 2-形式 ω を定めていることを意味している。

問６．定義１を参考にして多様体 M 上の 2-形式の定義を述べよ。

問７． T^{2} = ℝ^{2}/ℤ^{2} とする。

1) ℝ^{2} 上の Riemann 計量 dx · dx + dy · dy から自然に T^{2} の Riemann 計量が定まることを示せ。

2) ℝ^{2} 上の 2-形式 dx ∧ dy から自然に T^{2} 上の 2-形式が定まることを示せ。