２００１年度幾何学Ｂ演習（第９回） ’01/12/13 10:50〜12:20

特に断らない限り ℝ^{2} の自然な座標を (x_{1}, x_{2}) で表し、 ℝ^{2} の点は p で表す。

定義 I． g が ℝ^{2} （上の）リーマン計量とは、 g が以下を満たすことを言う：

1) g(p) を g_{p} と書くことにすると、 g_{p} は T_{p}ℝ^{2} の内積である。即ち、 v, v′, w ∈ T_{p}ℝ^{2} と a ∈ ℝ に対し、

g_{p}(v, w) = g_{p}(w, v)
g_{p}(v + v′, w) = g_{p}(v, w) + g_{p}(v′, w)
g_{p}(av, w) = ag_{p}(v, w)
g_{p}(v, v) ≥ 0 が成り立ち、更にg_{p}(v, v) = 0 ⇔ v = 0 である。

が成り立つ。

2) 1) により、適当な函数 g_{11}, g_{12}, g_{22} を用いて g_{p} = g_{11}(p)dx_{1}·dx_{1}+2g_{12}(p)dx_{1}· dx_{2} + g_{22}(p)dx_{2} · dx_{2} と表すことが出来るが、 g_{11}, g_{12}, g_{22} は滑らかな函数である。

問２． g = dx_{1} · dx_{1} + dx_{2} · dx_{2} を ℝ^{2} 上のリーマン計量とする。以下のベクトル場 X について、 a) g (X, \frac{∂}{∂x_{1}} ), b) g(X, X) をそれぞれ求めよ（ばら売り；計１６問）

\begin{matrix}1) & X(p) = \frac{∂}{∂x_{1}} \\ 3) & X(p) = 0 \\ 5) & X(p) = −x_{2} \frac{∂}{∂x_{1}} + x_{1} \frac{∂}{∂x_{2}} \\ 7) & X(p) = 2x_{1}x_{2} \frac{∂}{∂x_{1}} + (x_{1}^{2} − x_{2}^{2})\frac{∂}{∂x_{2}} \\ 8) & X(p) = (x_{1}^{3} − 3x_{1}x_{2}^{2})\frac{∂}{∂x_{1}} + (x_{2}^{3} − 3x_{1}^{2}x_{2})\frac{∂}{∂x_{2}} \end{matrix} \begin{matrix}2) & X(p) = \frac{∂}{∂x_{2}} \\ 4) & X(p) = x_{1} \frac{∂}{∂x_{1}} + x_{2} \frac{∂}{∂x_{2}} \\ 6) & X(p) = (x_{1} − x_{2})\frac{∂}{∂x_{1}} + x_{1} \frac{∂}{∂x_{2}} \end{matrix}

問２’．問２で g を g′ = 5dx_{1} · dx_{1} − 3dx_{1} · dx_{2} + 2dx_{2} · dx_{2} に置き換えて同じ作業をせよ。

問 III （復習）．定義１の条件 2) は

g_{11} > 0 かつ g_{11}g_{22} − g_{12}^{2} > 0

と同値であることを示し、問２’ の g′ はリーマン計量であることを確かめよ。

定義４．滑らかな ℝ^{2} から ℂ への写像 f = g + \sqrt{−1}h は等式

\frac{∂g}{∂x_{1}} − \frac{∂h}{∂x_{2}} = 0, \frac{∂h}{∂x_{1}} + \frac{∂g}{∂x_{2}} = 0

を満たすとき正則であるといわれる。ただし、 z = x_{1} + \sqrt{−1}x_{2} である。

問５．

1) 定義４は

\frac{∂f}{∂x_{1}} + \sqrt{−1}\frac{∂f}{∂x_{2}} = 0

と同値であることを示せ。従って、\frac{∂}{∂z̄} = \frac{1}{2} (\frac{∂}{∂x_{1}} + \sqrt{−1}\frac{∂}{∂x_{2}} ) と定めれば

f が正則であることは\frac{∂f}{∂z̄} = 0 と同値である。

2) f が正則であるとする。\frac{∂}{∂z} = \frac{1}{2} (\frac{∂}{∂x_{1}} − \sqrt{−1}\frac{∂}{∂x_{2}} ) と定めると

\frac{∂f}{∂z} = \frac{∂f}{∂x_{1}}

であることを示せ。

問６．（z = x_{1} + \sqrt{−1}x_{2}, z̄ = x_{1} − \sqrt{−1}x_{2} であることをふまえて、） dz = dx_{1} + \sqrt{−1}dx_{2}, dz̄ = dx_{1} − \sqrt{−1}dx_{2} と定めると、

dz (\frac{∂}{∂z} ) = dz̄(\frac{∂}{∂z̄}) = 1, dz (\frac{∂}{∂z̄}) = dz̄(\frac{∂}{∂z} ) = 0

であることを確かめよ。

定義 VII． φ : ℝ^{2} → ℝ^{2} を滑らかな写像、 g = g_{11}dx_{1}·dx_{1}+2g_{12}dx_{1}·dx_{2}+g_{22}dx_{2}·dx_{2} を ℝ^{2} 上のリーマン計量とする。このとき φ^{∗}g を

φ^{∗}g = (g_{11} ∘ φ)dφ_{1} · dφ_{1} + 2(g_{12} ∘ φ)dφ_{1} · dφ_{2} + (g_{22} ∘ φ)dφ_{2} · dφ_{2}

で定める。ただし、 φ = (φ_{1}, φ_{2}) であるとする。

問 VIII． Dφ が常に（行列として）正則であるとすると、定義 VI で定めた φ^{∗}g はリーマン計量であることを確かめよ。

問９． φ : ℂ → ℂ を φ(z) = e^{z} で定める。 1) φ は正則であることを示せ。

2) g = dx_{1} · dx_{1} + dx_{2} · dx_{2} とすると、適当な正の値をとる函数 f が存在し、 φ^{∗}g = f · g であることを示せ。このことを g に関して φ は等角（的）もしくは共型的であるという。

問１０． g を ℝ^{2} のリーマン計量とする。 ℝ^{2} の 0 でないベクトル v, w について、そ

のなす角 θ を cos θ = \frac{g(v, w)}{\sqrt{g(v, v)}\sqrt{g(w, w)}}, 0 ≤ θ < π で定める。 ψ : ℝ^{2} → ℝ を正値

函数とする。即ち、任意の p ∈ ℝ^{2} について ψ(p) > 0 であるとする。 1) g′ = ψ · g （掛け算）とすると g′ はリーマン計量であることを示せ。 2) g′ = ψ · g のとき、 g と g′ は同じ角度を定めることを示せ。従って g に関し

て φ が共型的であれば g と φ^{∗}g の定める角度は等しい。

問１１． 1) dz · dz̄ = dx_{1} · dx_{1} + dx_{2} · dx_{2} であることを示せ。

2) f : ℂ → ℂ を正則函数とするとき、 f^{∗}dz = \frac{∂f}{∂z} dz であることを示せ。

3) f : ℂ → ℂ が必ずしも正則函数でないときには f^{∗}dz = \frac{∂f}{∂z} dz + \frac{∂f}{∂z̄}dz̄ であることを示せ（ヒント：両辺を定義に戻って g, h, x_{1}, x_{2} を使って表して比較するのが一番簡単、ただし f = g + \sqrt{−1}h）。

4) f : ℂ → ℂ が正則なとき、 f^{∗}dz̄ = \frac{∂f̄}{∂z̄}dz̄ = \overline{\frac{∂f}{∂z} dz} であることを示せ。ここで f = g + \sqrt{−1}h のとき f̄ = g − \sqrt{−1}h である。

5) f : ℂ → ℂ が必ずしも正則函数でないときには f^{∗}dz̄ = \frac{∂f̄}{∂z}dz + \frac{∂f̄}{∂z̄}dz̄ であることを示せ。

問１２． φ : ℂ → ℂ を正則な函数（写像）、 g = dx_{1} · dx_{1} + dx_{2} · dx_{2} とする。このとき g に関して φ は共型的であることを示せ。

問１３． 𝔻 を ℂ = ℝ^{2} 内の単位開円盤とする。

1) g_{𝔻} = \frac{4dz · dz̄}{(1 − |z|^{2})^{2}} は 𝔻 上のリーマン計量であることを示せ。

2) φ(z) = e^{2π\sqrt{−1}θ} \frac{z + a}{āz + 1}, a ∈ 𝔻, θ ∈ ℝ とすると φ^{∗}g_{𝔻} = g_{𝔻} であることを示

せ。このことを、 φ は g_{𝔻} に関して等長（的）であるという。

3) 2) の φ(z) は a ∈ 𝔻, θ ∈ ℝ であれば 𝔻 から 𝔻 への微分同相写像であることを示せ。

問１４． ℍ = {z ∈ ℂ Im z > 0} とする。

1) g_{ℍ} = \frac{dz · dz̄}{y^{2}} は ℍ 上のリーマン計量であることを示せ。

2) φ(z) = \frac{az + b}{cz + d}, a, b, c, d ∈ ℝ, ad − bc = 1 とすると φ^{∗}g_{ℍ} = g_{ℍ} であることを

示せ。

3) 2) のような φ(z) は ℍ から ℍ への微分同相写像であることを示せ。

問１５． ψ を ψ(z) = \frac{\sqrt{−1}z + 1}{−\sqrt{−1}z + 1} で定める。

1) ψ は ℍ から 𝔻 への微分同相写像であることを示せ。

2) ψ^{∗}g_{𝔻} = g_{ℍ} であることを示せ。

問１６． φ : ℝ^{2} → ℝ^{2} が ℝ^{2} のリーマン計量 g について等長的であれば共型的であることを示せ。