２００１年度幾何学Ｂ演習（第８回） ’01/12/6 10:50〜12:20

特に断らない限り ℝ^{2} の自然な座標を (x_{1}, x_{2}) で表し、 ℝ^{2} の点は p で表す。

定義１．（実は教科書と同じ） X を ℝ^{2} 上の滑らかなベクトル場とする。 p を X の孤立零点（特異点）とするとき、 X の p における指数（index）を以下のように定める：

1) p は X の孤立特異点であるから、正数 ϵ を十分小さく取れば p を含む半径 2ϵ の開円盤 D の中では X(q) = 0 ⇔ q = p としてよい。

2) 必要なら平行移動して p は原点であるとする。また、ベクトル a_{1} \frac{∂}{∂x_{1}} +a_{2} \frac{∂}{∂x_{2}} に a_{1} + \sqrt{−1}a_{2} を対応させることにより、 X は ℂ に値をとる函数であるとみなす。そして、複素数値函数 f : S^{1} → ℂ を f(θ) = \frac{X(ϵe^{2π\sqrt{−1}θ})}{∥X(ϵe^{2π\sqrt{−1}θ})∥} で定め

る。ただし、 X(p) = a_{1} + \sqrt{−1}a_{2} のとき、 ∥X(p)∥ = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}} である。また、 S^{1} は ℝ/2πℤ と同一視している。

3) X は原点以外には零点を持たないのであったから、 f(θ) はきちんと定義されていて（このことを well-defined という）、しかも定義から ∥f(θ)∥ = 1 である。従って、 f : S^{1} → S^{1} とみなせる（ただし、値域の S^{1} は ℂ 内の単位円周である）ことに注意して、 ind_{p}X を f の曲線としての回転数として定める。すなわち、 ind_{p}X を

ind_{p}X = ∫_{0}^{1} \frac{1}{2π\sqrt{−1}} \frac{f′(θ)}{f(θ)}dθ

で定め、これを X の p における指数と呼ぶ。ここで、 f′ = \frac{df}{dθ} である。 ind_{p}X は実はある（コ）ホモロジーの元である。また、 X が滑らかであれば ind_{p}X は整数である。

問２．次のベクトル場は原点を孤立特異点として持つことを示し、原点における指数 ind_{0}X を求めよ。また、 X の原点の近くの様子を図示せよ。

1) X(p) = x_{1} \frac{∂}{∂x_{1}} + x_{2} \frac{∂}{∂x_{2}}

2) X(p) = −x_{2} \frac{∂}{∂x_{1}} + x_{1} \frac{∂}{∂x_{2}}

3) X(p) = (x_{1} − x_{2})\frac{∂}{∂x_{1}} + x_{1} \frac{∂}{∂x_{2}}

4) X(p) = 2x_{1}x_{2} \frac{∂}{∂x_{1}} + (x_{1}^{2} − x_{2}^{2})\frac{∂}{∂x_{2}}

5) X(p) = (x_{1}^{3} − 3x_{1}x_{2}^{2})\frac{∂}{∂x_{1}} + (x_{2}^{3} − 3x_{1}^{2}x_{2})\frac{∂}{∂x_{2}}

問３． φ : ℝ^{2}(= U) → ℝ^{2}(= V) を微分同相写像で、 φ(0) = 0 なるものとする。 X を 0 ∈ U を孤立特異点とする滑らかなベクトル場とするとき、

1) 0 ∈ V は φ_{∗}X の孤立特異点であることを示せ。

2) ind_{0}X = ind_{0}φ_{∗}X であることを示せ。定義４． X が滑らかな多様体 M 上の滑らかなベクトル場であるとは、 M の任意の座標近傍 (U, φ) について、

1) φ_{∗}X は U 上の滑らかなベクトル場であって、

2) (U, φ), (V, ψ) を二つの座標近傍であって、 U ∩ V ≠ ϕ であるものとすると、

ψ_{∗}X = (ψ ∘ φ^{−1})_{∗}(φ_{∗}X) が ψ(U ∩ V) で成り立つことを言う。

定義５． M を滑らかな多様体とし、 X を M 上のベクトル場で特異点が全て孤立しているものとする。 p を X の特異点とすると、 ind_{p}X が次のようにして定める。すなわち、 (U, φ) を p を含む任意の座標近傍で φ(p) = 0 なるものとして、 ind_{p}X = ind_{0}φ_{∗}X と定める。

問６．問３を用いて定義５で ind_{p}X が確かに φ によらず X と p だけで定まっていることを示せ（このようなことを well-defined という）。

問７．（2-1), 2-2), 3-1), 3-2) は別の問題と思ってよい；ばら売り） 1) S^{2} のホモロジー群は

H_{0}(S^{2}; ℤ) ≅ ℤ, H_{1}(S^{2}; ℤ) = 0, H_{2}(S^{2}; ℤ) ≅ ℤ

をみたすことを（例えば三角形分割を用いて）示し、 χ(S^{2}) = 2 であることを確かめよ。ここで、 M が n-次元多様体のときに χ(M) は

χ(M) = ∑_{i=0}^{n}(−1)^{n}rank H_{i}(M; ℤ)
= rank H_{0}(M; ℤ) − rank H_{1}(M; ℤ) + ⋯

で定義され、 M のオイラー数と呼ばれる。ここで、 ℤ-加群 L が L ≅_{ℤ} ℤ^{r} のとき、 rank_{ℤ}L = r とする。

2-1) 第７回の問７・８で定まる S^{2} 上のベクトル場の特異点は二点からなること

を示せ。 2-2) さらに、それぞれの特異点における指数は 1 であることを示し、

∑_{p∈{X の特異点}} ind_{p}X = χ(S^{2})

が成り立つことを示せ。 3-1) 第７回の問９で定まる S^{2} 上のベクトル場の特異点はやはり二点からなるこ

とを示せ。 3-2) さらに、それぞれの特異点における指数は再び 1 であって、

∑_{p∈{X の特異点}} ind_{p}X = χ(S^{2})

が成り立つことを示せ。問９．（1) は難しいかもしれない）

1) T^{2} = ℝ^{2}/ℤ^{2} として、 T^{2} に ℝ^{2} の Euclid 位相から定まる商位相を入れると、 T^{2} は「一人用の浮き輪」の表面と同相であることを示せ。

2) ℝ^{2} 上のベクトル場 X を X(p) = \frac{∂}{∂x_{1}} で定めると、 X は T^{2} のベクトル場を自然に定めることを示せ。

3) 2) で定まったベクトル場を Y とすると、 Y は特異点を持たないことを示せ。 4) T^{2} のホモロジー群は H_{0}(T^{2}; ℤ) ≅ ℤ, H_{1}(T^{2}; ℤ) ≅ ℤ^{2}, H_{2}(T^{2}; ℤ) ≅ ℤ を満

たすことを示せ。

5) T^{2} のオイラー数 χ(T^{2}) は 0 であることを示し、公式

∑_{p∈{X の特異点}} ind_{p}X = χ(T^{2})

が成り立つことを確かめよ。ただし、 ∑_{p∈ϕ} {p に関する何か }= 0 であるとみ

なす。

問１０． z を ℂ = ℝ^{2} の普通の座標とし、 z = x + \sqrt{−1}y とする。 t ≥ 0 として、 ℝ^{2} 上の滑らかなベクトル場 X_{t} を

X_{t}(x, y) = (x^{2} − y^{2} + t^{2})\frac{∂}{∂x} + 2xy \frac{∂}{∂y}

で定める。このとき、 1) X_{t} を図示し、 t が 0 に近づいていくときの図の変化を説明せよ。

2) X_{t} は t に依らず S^{2} 上のベクトル場を（前回の問７のようにすると）定めることを示せ。必要であれば

X_{t}(z) = 2Re (z^{2} + t^{2})\frac{∂}{∂z} = (z^{2} + t^{2})\frac{∂}{∂z} + (z̄^{2} + t^{2})\frac{∂}{∂z̄}

を示してこれを用いよ。ただし、

\frac{∂}{∂z} = \frac{1}{2} (\frac{∂}{∂x} − \sqrt{−1}\frac{∂}{∂y} ) , \frac{∂}{∂z̄} = \frac{1}{2} (\frac{∂}{∂x} + \sqrt{−1}\frac{∂}{∂y} )

である。

3) 1) で S^{2} に拡張されたベクトル場を再び X_{t} で表すことにする。すると、 X_{t} の特異点は t > 0 ならば p_{+} : (0, t), p_{−} : (0, −t)、 t = 0 ならば p_{0} : (0, 0) からなることを示し、 ind_{p_{+}}X_{t} = ind_{p_{−}}X_{t} = 1, ind_{p_{0}}X_{0} = 2 であることを示せ。

4) t の値に依らず

∑_{p∈{X_{t}の特異点}} ind_{p}X_{t} = χ(S^{2})

であることを示せ。ヒント：複素座標では (x^{2} − y^{2} + t^{2}, 2xy) = z^{2} + t^{2} である。