２００１年度幾何学Ｂ演習（第７回） ’01/11/29 10:50〜12:20

今回使われる記号． ℝ^{2} から ℝ^{2} への滑らかな写像がしばしば現れるが、定義域の ℝ^{2} を U と表しその座標を (x_{1}, x_{2})、値域の ℝ^{2} を V と表しその座標を (y_{1}, y_{2}) とする。また、 U の点を p、 V の点を q で表す。従って p = (x_{1}, x_{2}), q = (y_{1}, y_{2}) である。

定義１． X が ℝ^{2} 上の滑らかなベクトル場であるとは、滑らかな函数 f_{1}, f_{2} が存在

し、 X(p) = f_{1}(p)\frac{∂}{∂x_{1}}_{p} + f_{2}(p)\frac{∂}{∂x_{2}}_{p} とかけることである（\frac{∂}{∂x_{1}}_{p} は\frac{∂}{∂x_{1}} としばしば

略記される）。ただし、 ℝ^{2} の自然な座標を x_{1}, x_{2} とした。

φ : ℝ^{2} → ℝ^{2} を滑らかな写像とし、 φ(x_{1}, x_{2}) = (φ_{1}(x_{1}, x_{2}), φ_{2}(x_{1}, x_{2})) と表されるとする。このとき

1) v ∈ T_{p}U とすると、（定義から）適当な曲線 ℓ : (−ϵ, ϵ) → U で、 ℓ(0) = p, \frac{∂ℓ}{∂t}(0) = v なるものが存在する。また、

2) φ ∘ ℓ : (−ϵ, ϵ) → V は V の曲線で φ ∘ ℓ(0) = φ(p) なるものである。

問２．上の 2) により\frac{∂(φ ∘ ℓ)}{∂t}(0) は φ(p) におけるあるベクトル w を定める。 v =

a_{1} \frac{∂}{∂x_{1}} + a_{2} \frac{∂}{∂x_{2}} とするとき、ベクトル w を b_{1} \frac{∂}{∂y_{1}} + b_{2} \frac{∂}{∂y_{2}} の形で具体的に表せ。ま

た、ベクトル ( \begin{matrix}b_{1} \\ b_{2} \end{matrix} ) を ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} ) と φ の p における微分 Dφ(p) で表せ（ヒント： Dφ(p)

は 2 × 2-行列で表すことが出来る）。

定義３．上の w を φ_{∗}_{p}v, Dφ_{p}v, dφ_{p}v などと表す。 p が明らかなときは φ_{∗}v などと p を省略することもある。上のようにして定まった φ_{∗}_{p} は T_{p}U から T_{φ(p)}V への写像である。

問４． φ : ℝ^{2} → ℝ^{2} を φ(x_{1}, x_{2}) = (x_{1} + x_{2}, x_{2}) とし、 X を以下で定まるような ℝ^{2} の滑らかなベクトル場とする。このとき、 Y (q), q ∈ V を Y (q) = φ_{∗}_{φ^{−1}(q)}X(φ^{−1}(q)) で定めるとき、 Y を具体的に式で表し、 X と Y を（別々の平面に）図示せよ。

\begin{matrix}1) & X(p) = x_{1} \frac{∂}{∂x_{1}} + x_{2} \frac{∂}{∂x_{2}} \\ 3) & X(p) = x_{1}^{2} \frac{∂}{∂x_{1}} + x_{2} \frac{∂}{∂x_{2}} \\ 5) & X(p) = x_{1}^{2} \frac{∂}{∂x_{1}} + x_{2}^{2} \frac{∂}{∂x_{2}} \\ 7) & X(p) = (x_{1} − x_{2})\frac{∂}{∂x_{1}} + x_{2} \frac{∂}{∂x_{2}} \\ 9) & X(p) = (x_{1}^{3} − 3x_{1}x_{2}^{2})\frac{∂}{∂x_{1}} + (x_{2}^{3} − 3x_{1}^{2}x_{2})\frac{∂}{∂x_{2}} \\ 10) & X(p) = (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} − 1) (x_{1} \frac{∂}{∂x_{1}} + x_{2} \frac{∂}{∂x_{2}} ) + (−x_{2} \frac{∂}{∂x_{1}} + x_{1} \frac{∂}{∂x_{2}} ) \end{matrix} \begin{matrix}2) & X(p) = −x_{2} \frac{∂}{∂x_{1}} + x_{1} \frac{∂}{∂x_{2}} \\ 4) & X(p) = \frac{∂}{∂x_{1}} \\ 6) & X(p) = cos x_{1} \frac{∂}{∂x_{1}} + sin x_{2} \frac{∂}{∂x_{2}} \\ 8) & X(p) = 2x_{1}x_{2} \frac{∂}{∂x_{1}} + (x_{1}^{2} − x_{2}^{2})\frac{∂}{∂x_{2}} \end{matrix}

ヒント： 10) はまず p = 0 のときに X(p) を調べ、 p ≠ 0 の時には局座標を用いると見やすい。 8), 9) は、まず X が接する原点を通る直線（直感的には、「矢印」をつなげたとき出来る直線）を探すと良い。問４−２．問４の φ について φ_{∗} を求めよ。

問５．

1) 問４で φ を ψ : U → V, ψ(x_{1}, x_{2}) = (x_{1}^{2} + x_{2}, −x_{1}) に取り替えて同じ作業を行え。

2) 1) の ψ について ψ_{∗} を求めよ。

問６．

1) 一般に、 φ : ℝ^{2}(= U) → ℝ^{2}(= V) を微分同相写像、 X を U 上のベクトル場とするとき、 Y (q) = φ_{∗}_{φ^{−1}(q)}X(φ^{−1}(q)) とすると Y は V 上のベクトル場であることを示せ。

2) 1) で U を ℝ^{2} の開集合、 V を φ(U) で置き換えるとどうなるか考えよ。

問７． U = V = ℝ^{2} とし、 φ : U \ \{0\} → V を φ(x_{1}, x_{2}) = (\frac{x_{1}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} _{,} − \frac{x_{2}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} )

で定める。 1) Dφ を求めよ。

2) U 上のベクトル場 X を X(p) = x_{1} \frac{∂}{∂x_{1}} + x_{2} \frac{∂}{∂x_{2}} で定める。 V \ \{φ(0)\} 上のベクトル場 Y を

Y (q) = φ_{∗}_{φ^{−1}(q)}X(φ^{−1}(q))

で定めると、これは具体的には Y (q) = −y_{1} \frac{∂}{∂y_{1}} − y_{2} \frac{∂}{∂y_{2}} であることを示せ。また、 V \ {φ(0)} = V \ {0} であることを示せ（前者の 0(∈ U) と後者の 0(∈ V) は異なることに注意）。

最後の 3) から Y は V 全体で滑らかなベクトル場として定義できることがわかる（このことを Y は V 全体に滑らかに拡張できるという）。一方 U, V を φ で張り合わせることにより S^{2} が得られる（第５回の問４； z = x_{1} + \sqrt{−1}x_{2}, w = y_{1} + \sqrt{−1}y_{2} とすると φ(x_{1}, x_{2}) = \frac{1}{z} であることに注意）。従って、ベクトル場 X は S^{2} 全体に拡張できたことになる。別な言い方をすれば U 上のベクトル場 X と V 上の（拡張された）ベクトル場 Y は、 φ を通じて V ∩ φ(U) で一致するので、これらをあわせたものは S^{2} 上のベクトル場とみなすことが出来る。

問８．上のようにして S^{2} 上のベクトル場とみなした X （と Y ）を図示せよ。

問９．

1),2) 問７で X(p) = −x_{2} \frac{∂}{∂x_{1}} + x_{1} \frac{∂}{∂x_{2}} として同じ作業を行い、

3) X は S^{2} 上のベクトル場に自然に拡張できることを説明した上で S^{2} 上のベクトル場として図示せよ。

問１０． 3)〜10) 問４の 3)〜10) について、 X が上のようにして S^{2} 上の滑らかなベクトル場に拡張出来るかどうか調べ、出来る場合にはその拡張を一つ定めよ。