２００１年度幾何学Ｂ演習（第６回） ’01/11/22 10:50〜12:20

ローマ数字で表した問は前期の演習で出題済みである。

問１． f : ℝ^{n} → ℝ を滑らかな函数とする。また、 ℝ^{n} の自然な座標を (x_{1}, ⋯, x_{n}) とする。以下では特に断らないときは ϵ は十分小さい正の数とする。

I) ２つの滑らかな曲線 ℓ_{1}, ℓ_{2} : (−ϵ, ϵ) → ℝ^{n} が\frac{∂ℓ_{1}}{∂t} (0) = \frac{∂ℓ_{2}}{∂t} (0) を満たすと

き、\frac{∂(f ∘ ℓ_{1})}{∂t}(0) = \frac{∂(f ∘ ℓ_{2})}{∂t}(0) を示せ。すなわち、函数の曲線に沿った微分は曲線自身ではなく、その速度ベクトルで定まる。

II) より詳しく、\frac{∂ℓ_{1}}{∂t} (0) = ∑_{i=1}^{n} a_{i} \frac{∂}{∂x_{i}}, a_{i} ∈ ℝ とすると

\frac{∂(f ∘ ℓ_{1})}{∂t}(0) = ∑_{i=1}^{n} a_{i} \frac{∂f}{∂x_{i}}

であることを示せ。そこで、 ℝ^{n} 内のベクトル v （始点を p とする）と、 ℝ^{n} 上定義された函数 f について、その微分 v(f) を以下のように定めたのであった。即ち、

定義２．曲線 ℓ : (−ϵ, ϵ) → ℝ^{n} で、 ℓ(0) = p, \frac{∂ℓ}{∂t}(0) = v なるものをとり、

v(f) = \frac{∂(f ∘ ℓ)}{∂t}(0)

とおく。

多様体上で微分を考えようとすると、一般には座標を取り替えるごとに座標軸が変わってしまうのでそのままではうまく行かないが、「多様体上の函数」や「多様体上の（接）ベクトル」はそれぞれきちんと定義されていることに注意する（第４回を参照）。 ℝ^{n} は多様体なので、多様体上の微分は定義できるとすれば ℝ^{n} での微分と一致していて欲しい。そのためには基本的には定義を上のものと変えようが無いので安直に

定義３． p を多様体 M の点、 v を p における接ベクトル、 f を M 上の滑らかな函数とする。このとき、 f の v に関する微分を v(f) で定める。

が、もちろんこれは何も言っていない（v(f) とは何かまったく述べていない）。 v(f) を具体的に表すために、 v, f を具体的に表す必要がある。これには局所座標を使うのであった。つまり、 (U, φ) を p の周りの座標近傍とする。ここで、 φ : U → φ(U) ⊂ ℝ^{n} なので、必要なら ℝ^{n} の中で平行移動して φ(p) = 0 としてよい。すると、 v は定義から、ある適当な曲線 ℓ : (−ϵ, ϵ) → M で、 ℓ(0) = p なるものが与えられて、 φ(U) 上では

φ_{∗}v = \frac{∂(φ ∘ ℓ)}{∂t}(0)

で表されるのであった。一方 f は φ(U) 上では f ∘ φ^{−1} である。従って、定義２を参考にすると

定義４． v(f) とは、 φ(U) 上では

\frac{∂((f ∘ φ^{−1}) ∘ (φ ∘ ℓ))}{∂t}(0)

で表されるものである

筈である。

問５．必要なら前回の問７を参考にして、定義４は

1) (U, φ) の取り方によらないことを示せ。ただし、 U ∋ p とし、さらに φ(p) = 0 としてよい。

2) ℓ の取り方によらないことを示せ。ただし、\frac{∂ℓ}{∂t}(0) = v とする。

従って、定義４の式は v, f で定まるものを表しているのでこれを v(f) と表すのは適当であろう。

問６． S^{2} ⊂ ℝ^{3} とする。 (x, y, z) ∈ S^{2} に対して f(x, y, z) = z とする。 1) f は S^{2} 上の滑らかな函数であることを示せ。

2) f の臨界点、臨界値を求めよ。

3) c ∈ ℝ に対して f^{−1}(c) を図示せよ。

ℓ_{1} : ℝ → S^{2} を ℓ_{1}(t) = (cos t, sin t, 0) とし、 v_{1} = \frac{∂ℓ_{1}}{∂t} (0) とする。このとき

4) v_{1} を図示せよ。
5) v_{1}(f) を求めよ。

ℓ_{2} : ℝ → S^{2} を ℓ_{2}(t) = (0, cos t, sin t) とし、 v_{2} = \frac{∂ℓ_{2}}{∂t} (0) とする。このとき

4_{2}) v_{2} を図示せよ。

5_{2}) v_{2}(f) を求めよ。 ℓ_{3,θ} : ℝ → S^{2} を ℓ_{3,θ}(t) = ((cos θ) sin t, (sin θ) sin t, cos t) とする。ここで θ は定数。

w_{1,θ} = \frac{∂ℓ_{3,θ}}{∂t} (0), w_{2,θ} = \frac{∂ℓ_{3,θ}}{∂t} (π) とするとき

6) w_{1,θ} と w_{2,θ} を図示せよ。
7) w_{1,θ}(f) と w_{2,θ}(f) を求めよ。

ℓ_{4,θ} : ℝ → S^{2} を ℓ_{4,θ}(t) = (cos t, (cos θ) sin t, (sin θ) sin t) とする。ここで θ は定数。

w_{1,θ} = \frac{∂ℓ_{3,θ}}{∂t} (0), w_{2,θ} = \frac{∂ℓ_{3,θ}}{∂t} (π) とするとき

6_{2}) w_{1,θ} と w_{2,θ} を図示せよ。 7_{2}) w_{1,θ}(f) と w_{2,θ}(f) を求めよ。

8) 7_{2}) で θ を変化させたとき、 w_{1,θ}(f) と w_{2,θ}(f) の変化を調べ、 3) で現れる図形との関連について述べよ。