２００１年度幾何学Ｂ演習（第５回） ’01/11/15 10:50〜12:20

定義１． M を多様体、 p を M の点とする。 M の p における接ベクトル全体の成す空間を M の p における接空間と呼び T_{p}M と記す。

問２． 1) ℝ^{n} の任意の点 p における接空間 T_{p}ℝ^{n} は集合として ℝ^{n} に等しいことを示せ。 2) M を n-次元多様体とすると、 M の任意の点 p における接空間 T_{p}M は集合

として ℝ^{n} に等しいことを示せ。

定義３． T M = ⋃_{p∈M} T_{p}M と定め、 M の接空間と呼ぶ。実は T M は自然な「バンド

ル（束）」の構造を持つため、 T M はしばしば接バンドルもしくは接束と呼ばれる。

問４．次のように定義される位相空間を考える： a) U_{0} = U_{1} = ℂ とし、 U_{0} の座標を z、 U_{1} の座標を w で表す。

b) ψ : U_{0} \ \{0\} → U_{1} を ψ(z) = \frac{1}{z} で定める。

c) （共通部分を持たない）和集合 U_{0} ⨿ U_{1} に位相を「O ⊂ U_{0} ⨿ U_{1} が開集合 ⇔ O ∩ U_{0} と O ∩ U_{1} が共に開集合」で定める。

d) U_{0} ⨿ U_{1} に同値関係 ∼ を「x ∼ y ⇔ (x = y) もしくは y = ψ(x) もしくは x = ψ(y)」で定める。

e) M = (U_{0} ⨿ U_{1})/ ∼ と定める。位相は商位相を入れる。

1) c) において、 O = { 括弧内の条件を満たす集合 } とすると、 O は開集合系を成すことを確かめよ。

2) d) において、 ∼ は同値関係を定めることを確かめよ。

3) M は Hausdorff 空間であることを示せ。

4) 商位相の定義を（必要ならば調べて）述べ、 M は S^{2} に同相であることを示せ。

注．問４のように局所座標とその間の変換のみが与えられて多様体が定義されることもある。

問５．問４において b) を

b’) ψ : U_{0} \ {0} → U_{1} を ψ(z) = z で定める。に置き換えた場合、出来上がる空間 M は多様体でないことを M は Hausdorff 空間ではないことを示すことにより示せ。問６．（多様体における積分（の初歩）） M = ℝ^{2}、 U = V = ℝ^{2} とする。ここで、 U の座標を (x, y)、 V の座標を (w, z) とし、 φ : M → U, ψ : M → V をそれぞれ φ(p, q) = (p, q), ψ(p, q) = (2p + q, q) で定める。

1) U 上の直線の族 x = n, y = m が V 上ではどのように見えるか説明せよ。ここで、 n, m ∈ ℤ とする。

2) U 内の図形 D_{U} に対しては普通の意味で面積が（積分で）定まる。 D_{U} は φ を通じて M の図形だと思えるが、さらにこれは ψ を通じて V の図形 D_{V} だとみなすことが出来る。この図形 D_{V} の面積は（0 か ∞ でない限り） D_{U} の面積とは一致しないことを（例を挙げることにより）示せ。

3) M 内の図形 D の面積 a(D) を φ(D) の U での普通の面積として定める。つ

まり

a(D) = ∫_{φ(D)} dxdy

と定める。このとき、 V 上のある函数 g が存在し、

a(D) = ∫_{ψ(D)} g(w, z)dwdz

が成り立つことを示せ。また、この函数 g と φ, ψ の関係を述べよ。 W = ℝ^{2} とし、 ρ : M → W を ρ(p, q) = (p + q^{2}, q) で定める。

4) U 上の直線の族 x = n, y = m が W 上ではどのように見えるか説明せよ。ここで、 n, m ∈ ℤ とする。

5) U 上の普通の面積は W 上の普通の面積と一致することを示せ。

6) M 内の図形 D の面積 a(D) を φ(D) の U での普通の面積として定める。このとき、 D の面積を W 内の図形 a(D) を用いて正しく求めるための公式を求めよ（ヒント: 3) を参考にせよ。実は答えは 3) よりも易しい）。

問７．（多様体における微分） M = ℝ^{2} とし、 f : M → ℝ を f(p, q) = ap^{2} + bq^{2} で定める。ただし a, b は 0 でない実数とする。また、 U, V, φ, ψ を問６と同様に定める。曲線 ℓ : ℝ → M を

φ ∘ ℓ(t) = (t, 0)

により定める。 1) ψ ∘ ℓ(t) を求めよ。

2) \frac{∂(φ ∘ ℓ)}{∂t}(0) と\frac{∂(ψ ∘ ℓ)}{∂t}(0) を求め、その値が一致しないことを確かめよ。

しかし第４回の意味で\frac{∂(φ ∘ ℓ)}{∂t}(0)、\frac{∂(ψ ∘ ℓ)}{∂t}(0) は共に同じベクトル\frac{∂ℓ}{∂t}(0) を定めているのであった。ここで、やや天下り的であるが、 f の\frac{∂ℓ}{∂t}(0) に関する微分を

\frac{∂(f ∘ ℓ)}{∂t}(0)

により定める。 上の微分は、 ℓ を「座標軸」とみなしてそれに沿って f を微分しているとみなすことができる。これを見るために、上の式を

\frac{∂((f ∘ φ^{−1}) ∘ (φ ∘ ℓ))}{∂t}(0)

と書き換える。このとき φ ∘ ℓ は x-軸なので、結局上の式は

\frac{∂(f ∘ φ^{−1})}{∂x}(φ ∘ ℓ(0))

に等しい。 3) 上の式変形を確かめよ。

4) \frac{∂(f ∘ ℓ)}{∂t}(0) を具体的に求めよ。

5) (U, φ) の代わりに (V, ψ) を用いて\frac{∂(f ∘ ℓ)}{∂t}(0) を適宜書き換え、上のように解釈を与えよ。