２００１年度幾何学Ｂ演習（第４回） ’01/11/8 10:50〜12:20

全般的な注意：第１回から暗黙のうちに多様体は連結であることを仮定しているので注意。連結で無い多様体の次元は必ずしも自然には定まらない（例： S^{1} ⨿ S^{2}）。

問１．次の写像の臨界点の集合と、臨界値の集合を求めよ。 1) f : ℝ^{2} → ℝ^{2}、 f(x, y) = c （ただし c は定数）。

2) f : ℝ^{3} → ℝ, f(x, y, z) = ax^{2} + by^{2} + cz^{2} （a, b, c は定数）

注．上の問でも分かるように、臨界点の集合は「大きい」こともある。一方臨界値の集合は常に「小さい」。

問２． X = ℝ^{2} とし、これのユークリッド座標（普通の座標）を (p, q) で表す。ここで、 φ : X → ℝ^{2} を φ(p, q) = (p, q) で定め、値域の ℝ^{2} の座標を (x, y) で表す。一方 ψ : X → ℝ^{2} を ψ(p, q) = (p + q, q) で定め、値域の ℝ^{2} の座標を (w, z) で表す。

1) φ と ψ はそれぞれ X に多様体の構造を与えていることを説明せよ（注意：この時点ではこれらの構造が同じである保証は無い）。

2) ψ ∘ φ^{−1} は ℝ^{2} から ℝ^{2} への微分同相写像であることを示せ（このことから φ と ψ は X に同じ多様体の構造を定めていることが分かる）。

3) f : X → ℝ を f(p, q) = p(p + q) で定めるとき、 f ∘ φ^{−1}, f ∘ ψ^{−1} を具体的に求めた上でそれらの微分を求めよ。さらにそれらの微分が ψ ∘ φ^{−1} （の微分）を通じてどのように関係しているか説明せよ。

4) f ∘ φ^{−1}, f ∘ ψ^{−1} の臨界点の集合および臨界値を求め、それらを比較せよ。

定義３． n ≥ m とし、 f : ℝ^{n} → ℝ^{m} を滑らかな写像とする。 p ∈ ℝ^{n} が臨界点であるとは、 Df(p) の rank （階数）が m 未満になることである。また、 q ∈ ℝ^{m} が臨界値であるとは、 f^{−1}(q) が臨界点を含むことである。

問４． f : ℝ^{n} → ℝ^{m} を滑らかな写像とし（ただし n ≥ m とする）、 C をその臨界点の集合、 V を臨界値の集合とする。 φ を ℝ^{n} から ℝ^{n} への微分同相写像とするとき、 f ∘ φ^{−1} の臨界点の集合は φ(C) であり、臨界値の集合は V であることを示せ。

問５． M を任意の n 次元多様体、 f : M → ℝ^{m} を滑らかな写像とするとき、 f の臨界点と臨界値の定義を問４を参考にして与えよ。ただし、 n ≥ m とする。

定義６． M を n 次元多様体とする。 ℓ : (−ϵ, ϵ) → M が滑らかな曲線であるとは、 M の任意の局所座標 (U, φ) について φ ∘ ℓ(−ϵ, ϵ) → ℝ^{n} : が滑らかな曲線であることをいう。ここで、 ϵ は適当に固定した任意の正数とするが、便宜的に ϵ = ∞ とみなして ℓ : ℝ → M の場合も含める。

問７． S^{2} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1} とする。 1) ℓ : ℝ → S^{2} を ℓ(θ) = (cos θ, sin θ, 0) で定めるとこれは定義６の意味で滑らか

な曲線であることを示せ（ヒント：第２回の問７を\underline{参考}にせよ）。

2) 1) の ℓ 以外の滑らかな曲線を一つ以上挙げよ（滑らかな曲線であることも示すこと）。

定義８． M ⊂ ℝ^{k} を（教科書の意味での）多様体とする。 p ∈ M とするとき、 p を始点とするベクトル v が M の p における接ベクトルであるとは、ある滑らかな曲線 ℓ : (−ϵ, ϵ) → M で、

1) ℓ(0) = p

2) \frac{∂ℓ}{∂t}(0) = v, ここで t ∈ (−ϵ, ϵ)

なるものが存在することである（第６回幾何学Ａ演習の定義１と比較せよ）。

定義８’． M を第１回の定義１’ の意味での多様体とする。 p ∈ M とするとき、 v が p における M の接ベクトルであるとは、ある滑らかな曲線 ℓ : (−ϵ, ϵ) → M が存在し、定義８と同様の条件を満たすことである。

一見定義８’ はうまくいっているように思えるが、一つ問題がある。即ち、 ℓ の像が ℝ^{k} に含まれていない（かもしれない）時にどのように\frac{∂ℓ}{∂t} を定めるか明らかでない。例えば、 ‘ℓ(0 + ϵ) − ℓ(0)’ をどのように定めればよいのか一般には分からない。

そこで、次のように定義する。

定義９． M を n-次元多様体、 ℓ : (−ϵ, ϵ) → M を滑らかな曲線で、 p = ℓ(0) であるものとする。このとき、\frac{∂ℓ}{∂t}(0) を以下のように定める。

1) p を含む座標近傍 (U, φ) を一つ選ぶ。すると定義から φ ∘ ℓ は ℝ^{n} 内の滑らかな曲線であるから\frac{∂(φ ∘ ℓ)}{∂t} を考えることは可能である。

2) そこで、 φ_{∗}v （これはここでは単なる記号であって、 φ_{∗} や v がそれぞれ定まっている訳ではない）を

φ_{∗}v = \frac{∂(φ ∘ ℓ)}{∂t}(0)

と定める。

3) 1) で p を含む座標近傍として (V, ψ) を取る。このとき ψ_{∗}v も同様に定義さ

れるが、問１０ ψ_{∗}v = (ψ ∘ φ^{−1})_{∗}(φ_{∗}v)

であることを示せ。ここで、 (ψ ∘ φ^{−1})_{∗} は ℝ^{n} の開集合から ℝ^{n} の開集合への滑らかな写像（ここでは ψ ∘ φ^{−1}）と、 ℝ^{n} のベクトル（即ち T ℝ^{n} の元；ここでは φ_{∗}v）に対して以前定義した写像である。

4) 3) により、 φ_{∗}v は多様体 M 上に定まっている v が φ_{∗} を通じて現れたものであると考えることができるので、この v を\frac{∂ℓ}{∂t}(0) と表す（したがって、式で表そうと思うと必ず座標近傍を一つ選ばないといけない）。