２００１年度幾何学Ｂ演習（第３回） ’01/11/1 10:50〜12:20

定義１． X を位相空間、 Y をその部分集合とする。 O_{X} = {O_{λ}}_{λ∈Λ} を X の開集合系とする。このとき、 Y の開集合系を O_{Y} = {Y ∩ O_{λ}}_{λ∈Λ} で定めることにより Y の位相が定まる。これを相対位相・ Y に X から定まる位相などと呼ぶ。

問２．上の定義で O_{Y} は Y の開集合系を定めていることを確かめよ。即ち 1) ϕ ∈ O_{Y} , Y ∈ O_{Y}

2) U_{μ} ∈ O_{Y}, ∀μ ∈ M ならば ⋃_{μ∈M} U_{μ} ∈ O_{Y}
3) U_{1}, U_{2} ∈ O_{Y} ならば U_{1} ∩ U_{2} ∈ O_{Y}

が成り立つことを確かめよ（上の３条件を開集合系の公理などという）。

問３． ℝ^{n} に（ユークリッド）距離から定まる位相を入れる。つまり開集合の生成系として U(x; ϵ), x ∈ ℝ^{n}, ϵ > 0 を取る。ここで U(x; ϵ) = {y ∈ ℝ^{n} |x − y| < ϵ} である（要するに普通の位相を考える）。すると以下のようにして ℝ に２つの位相 O_{1}, O_{2} が定まるが、これらが同じであることを示せ：

1) 上で n = 1 と思うと ℝ に位相が定まるのでこれを O_{1} とする。

2) 上で n = 2 とすると ℝ^{2} に位相が定まる。 ℝ を x-軸と考えて ℝ^{2} の部分集合とみなすと、定義１により ℝ には ℝ^{2} から位相が定まるのでこれを O_{2} とする。

問４．実数を成分とする 2 × 2-行列の全体を M_{2}(ℝ) で表すことにすると、これは集合として ℝ^{4} に等しいので問３のようにして位相を入れる。この位相から定まる SO(2) の位相と（SO(2) ⊂ M_{2} に注意）、 ℝ^{2} の部分集合としての S^{1} は対応

φ : ( \begin{matrix}cos θ & − sin θ \\ sin θ & cos θ \end{matrix} ) ↦ (cos θ, sin θ) ∈ ℝ^{2}

を通して位相空間として同一視できる（このことを同相であるという）ことを（必要であれば以下の順で）示せ。

1) φ は一対一（単射かつ全射）の写像である（これはサービス問題）。

2) SO(2) の開集合系を O_{SO(2)}、 S^{1} の開集合系を O_{S^{1}} とする。このとき、集合族 φ^{−1}(O_{S^{1}}) を φ^{−1}(O_{S^{1}}) = {φ^{−1}(U_{λ}) U_{λ} ∈ O_{S^{1}}} で定めるとこれは SO(2) の開集合系で、しかも O_{SO(2)} と一致する。

3) ψ = φ^{−1} とすると、 ψ^{−1}(O_{SO(2)}) は O_{S^{1}} と一致する。

4) 実は φ により SO(2) と S^{1} は微分同相である。余裕があればこれも示せ。定義５． f : ℝ^{2} → ℝ を滑らかな函数とし、 ℝ^{2} の座標を (x, y) とする。

1) f の臨界点とは Df = (\frac{∂f}{∂x} , \frac{∂f}{∂y} ) が零ベクトルになる点のことである。

2) c が f の臨界値であるとは、 f^{−1}(c) が臨界点を含むことである。

問６．以下の函数 f : ℝ^{2} → ℝ について、 1) f の臨界点および臨界値を求めよ。

2) 臨界値である c と適当な ϵ > 0 を選び、 t ∈ (c − ϵ, c + ϵ) なる t をいくつか選んで {(x, y) ∈ ℝ^{2} f(x, y) = t} のグラフを描け。ただし、 t = c の場合は必ず描くこと（臨界値１つごとに１問）。グラフは概形がわかれば無理に変曲点などを求める必要はない。

a) f(x, y) = x^{2} + y^{2}

b) f(x, y) = x^{2} − y^{2}

c) f(x, y) = xy

d) f(x, y) = x(x − y)

e) f(x, y) = x^{3} + y^{3}

f) f(x, y) = x^{4} + y^{4} − x^{2}

g) f(x, y) = x^{6} + y^{6} − xy

h) f(x, y) = x^{4} + y^{4} − x^{3} − y^{2} i ) f(x, y) = x^{4} + y^{4} − x^{2}y − xy^{2}

問７．

1) g_{1}(z) = \frac{2 |z|^{2}}{1 + |z|^{2}} とすると、この函数は S^{2} 上の滑らかな函数に自然に拡張で

きることを前回の問７を参考にして示せ。

2) 1) で得られた函数を g とするとき、 g の臨界点の集合を求め図示せよ（ヒント：２点から成る）。

3) g の値域を求め、各 r ∈ ℝ について g^{−1}(r) を図示せよ。

問８．前回の問７で定めた S^{2} 上の函数を f とする。 1) f の臨界点の集合を求め図示せよ（ヒント：２点と円周から成る）。

2) f の値域を求め、各 r ∈ ℝ について f^{−1}(r) を図示せよ。注：臨界点の集合は「小さい（ルベーグ測度 0）」であることに注意せよ。