２００１年度幾何学Ｂ演習（第２回） ’01/10/18 10:50〜12:20

f : ℝ^{n} → ℝ^{n} を ℝ^{n} から ℝ^{n} への滑らかな写像とする。

定義１． f の定義域の ℝ^{n} の座標を (x_{1}, ⋯, x_{n}) とし、値域の ℝ^{n} の座標を (y_{1}, ⋯, y_{n}) とする。 f を成分で (f_{1}, ⋯, f_{n}) と書いたとき、関数を成分とする行列 Df を

Df = ( \begin{matrix}\frac{∂f_{1}}{∂x_{1}} & \frac{∂f_{1}}{∂x_{2}} & ⋯ & \frac{∂f_{1}}{∂x_{n}} \\ \frac{∂f_{2}}{∂x_{1}} & \frac{∂f_{2}}{∂x_{2}} & ⋯ & \frac{∂f_{2}}{∂x_{n}} \\ ⋮ & & & ⋮ \\ \frac{∂f_{n}}{∂x_{1}} & \frac{∂f_{n}}{∂x_{2}} & ⋯ & \frac{∂f_{n}}{∂x_{n}} \end{matrix} )

で定める。

問２．次の各 f, g に対して Df, Dg を求め、さらに D(g ∘ f) と Dg · Df （行列としての積）を比較せよ。

1) f(x_{1}, x_{2}) = (x_{1}^{2}, x_{2}), g(x_{1}, x_{2}) = (x_{1} − x_{2}, x_{1} + x_{2})

2) f(x_{1}, x_{2}) = (cos x_{1}, sin x_{2}), g(x_{1}, x_{2}) = (x_{1}x_{2}, e^{x_{2}})
3) f(x_{1}, x_{2}) = (x_{2}, x_{1}), g(x_{1}, x_{2}) = (x_{2}, x_{1})

定義３． f : ℝ^{n} → ℝ^{n} を滑らかな写像とする。

1) x ∈ ℝ^{n} が f の正則点 (regular point) であるとは、 Df(x) が正則であることをいう。

2) x ∈ ℝ^{n} が f の正則点でないとき、 x を臨界点 (critical point) という。

3) y ∈ ℝ^{n} について、 f^{−1}(y) の点が全て正則点であるとき、 y を正則値 (regular value) という。

4) y ∈ ℝ^{n} について、 f^{−1}(y) が臨界点を含むとき、 y を臨界値 (critical value) と呼ぶ。

このとき、次が知られている。

定理． (逆函数定理) x ∈ ℝ^{n} が f : ℝ^{n} → ℝ^{n} の正則点であるとする。このとき、 y = f(x) とすると、 x の近傍 U_{x} と y の近傍 U_{y} で、 f|_{U_{x}} : U_{x} → U_{y} が微分同相写像になるものが存在する。問４． f : ℝ^{2} → ℝ^{2} を線形写像とする。このとき

1) 定義域の ℝ^{2} の点はすべて正則点であるか、さもなくばすべて臨界点であることを示せ。

2) 定義域の ℝ^{2} の点がすべて正則点である場合に逆函数定理を示せ。

問５． 1)-3) 以下の函数について臨界点の集合を図示せよ。

1) f(x_{1}, x_{2}) = (x_{1}^{2}, x_{2})

2) f(x_{1}, x_{2}) = (x_{1}^{2} − x_{2}^{2}, 2x_{1}x_{2})

3) f(x_{1}, x_{2}) = (x_{1}^{3} − 3x_{1}x_{2}^{2}, 3x_{1}^{2}x_{2} − x_{2}^{3}) 4)-6) 上の函数について逆函数定理を確かめよ。すなわち、それぞれの函数の正則

点について定理のような近傍があることを示せ。

問６． x ∈ ℝ^{n} が f : ℝ^{n} → ℝ^{n} の正則点であるとするとき、 x のある近傍 U_{x} で正則点のみからなるものが存在することを示せ。

問７． (現段階で解けるが難しい) φ : ℂ \ \{0\} → ℂ \ \{0\} を φ(z) = \frac{1}{z} で定める。

1) z-(複素) 平面 ℂ_{z} と w-(複素) 平面 ℂ_{w} を φ で張り合わせたものは S^{2} に微分同相であることを示せ。

2) ℂ_{z} 上の函数 f_{1} と ℂ_{w} 上の滑らかな函数 f_{2} の組で、 f_{2} (\frac{1}{z}) = f_{1}(z) を満た

すものは S^{2} 上の滑らかな函数とみなせることを示せ。

3) f_{1}(z) = \frac{|z|}{1 + |z|^{2}} とすると、この函数は S^{2} 上の滑らかな函数に自然に拡張で

きることを次の順序で示せ。 3a) w の函数 f_{2} で、 f_{2} (\frac{1}{z}) = f_{1}(z) となるものの候補を探す (ヒント：このよ

うな函数は f_{2}(w) = f_{1} (\frac{1}{w} ) を満たすことをまず示せ)。

3b) f_{2} は w-平面全体で定義された滑らかな函数に拡張できることを示す。