２００１年度幾何学Ｂ演習（第１回） ’01/10/11 10:50〜12:20

「微分可能」とは C^{∞}-級のこととする。「滑らか」ということもある。

定義１． ℝ^{k} の部分集合 M が多様体であるとは、 M の任意の点 x に対し、 x を含むある ℝ^{k} の開集合 W で、 W ∩ M が ℝ^{m} のある開集合と微分同相であるようなものが存在することである。ここで k, m はあらかじめ固定した整数とする。この m のことを M の次元と呼び、 dim M などと表す。

定義１’．ハウスドルフ空間（注意を参照） M が多様体であるとは、 M の任意の点 x に対し、 x を含むある M の開集合 U_{x} で、次のようなものが存在するとこという。即ち、

1) 各 U_{x} は ℝ^{m} の開集合に同相である。この同相を与える写像を φ_{x} : U_{x} → ℝ^{m} とする。

2) U_{x} ∩ U_{y} ≠ ϕ とするとき、 φ_{x}(U_{x} ∩ U_{y}) 上定義された写像

φ_{y} ∘ φ_{x}^{−1} : φ_{x}(U_{x} ∩ U_{y}) → φ_{y}(U_{x} ∩ U_{y})

は微分同相写像である。

注意．通常は M はパラコンパクトもしくは第２可算であることを仮定する。今はとりあえずあまり気にしなくてよい（気になる人は多様体の教科書を見よ）が、以下では常に多様体は第２可算であるとする。

問２．以下の図形を図示し、さらに次の a) もしくは b) の作業を行え（b) の作業はすべての図形に対して行えるわけではないことに注意せよ）：

a) もし多様体であればそのことを定義１もしくは定義１’ を用いて示せ（証明の際にはどちらの定義を用いたのか明示し、厳密に証明を与えよ）。もし多様体ではない場合は多様体で無い理由を説明せよ（必ずしも厳密な証明を与えずともよい）。

b) 与えられた図形が多様体であるとして、その多様体の各点における接空間を

求めよ（適宜公式などを用いてよい）。（各図形について a) と b) は別の問題と見てよい；つまり全部「ばら売り」）ただし、以下において「線分」は端点を含むとする。

1) ℝ^{n} {(x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}) x_{i} ∈ ℝ, ∀i}

2) ℂ^{n} = {(z_{1}, z_{2}, ⋯, z_{n}) z_{i} ∈ ℂ, ∀i}

3) ℤ^{n} = {(m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) m_{i} ∈ ℤ, ∀i}

4) ℝ^{2} \ {(0, 0)}

5) ℂ^{2} \ {(0, 0)} 6-1) H_{1} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} z = 0} 6-2) ℝ^{3} \ H_{1} 6-3) H_{2} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} y = 0} とするとき、 H_{1} ∪ H_{2} 6-4) ℝ^{3} \ (H_{1} ∪ H_{2}) 6-5) H′_{1} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} z = 1} とするとき、 H_{1} ∪ H′_{1} 7-1) S^{n} = {(x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n+1}) ∈ ℝ^{n+1} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ⋯ + x_{n+1}^{2} = 1} 7-2) ℝ^{3} \ S^{2}

8) D^{n} = {(x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}) ∈ ℝ^{n} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2} < 1}

9) ℍ^{n} = {(x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}) ∈ ℝ^{n} x_{n} > 0}

10) \overline{D^{n}} = \{(x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}) ∈ ℝ^{n} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2} ≤ 1\}

11) \overline{ℍ^{n}} = \{(x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}) ∈ ℝ^{n} x_{n} ≥ 0\}

12) M_{2} = \{( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) a, b, c, d ∈ ℝ\}

13) SL(2; ℝ) = \{( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) a, b, c, d ∈ ℝ, ad − bc = 1\}

14) SO(2) = \{A ∈ SL(2; ℝ) ^{t}A · A = A^{t} · A = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )\}

15) 次のようにして与えられる ℝ^{2} 内の図形 Y ： a : (−1, 0), b : (0, 0), c : (1, 1), d : (1, −1) として、 A を線分 ab、 B を線分 bc、 C を線分 bd とする。最後に Y = A ∪ B ∪ C とする。

16) T^{2} = {(R(1 + r cos φ) cos θ, R(1 + r cos φ) sin θ, r sin φ) θ, φ ∈ ℝ} ただし、 R > r とする。

17) C = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} x^{2} + y^{2} = z^{2}, z > 0}

18) C′ = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} x^{2} + y^{2} = z^{2}, z ≥ 0}

19) S^{p} × S^{q}

20) M × N, ここで M, N はそれぞれ多様体であるとする。

21) {(t, sin t) t ∈ ℝ}
22) {(t cos t, t sin t) t > 0}
23) {(x, y) ∈ ℝ^{2} y = x^{2}}
24) {(x, y) ∈ ℝ^{2} x = y^{2}}
25) {(x, y) ∈ ℝ^{2} y^{2} = x^{2}(x + 1)}

26) ℝ^{2} \ L, ここで L は (−1, 0) と (1, 0) を結ぶ線分

27) ℝ^{2} \ L̊ ここで L̊ は (−1, 0) と (1, 0) を結ぶ線分の内部

28) 種数 g の向き付け可能な曲面（つまり g 人用の浮き輪）

29) 微分方程式\frac{dx}{dt} = t の解のなす空間（を線形空間（より正確には Affine 空間）とみなしたもの）

30) ℝ^{3} から ℝ への線形写像全体のなす空間（を線形空間とみなしたもの）

問３． M が定義１の意味で多様体であるとき、定義１’ の意味で多様体であることを示せ（実は逆もほとんど正しい）。

問４． S^{1} は 1 次元多様体であることを示せ（次元の一意性は認めてよい）。更に、 S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} x^{2} + y^{2} = 1, z = 0} とするとき、 S は S^{1} と微分同相で、なおかつ S はやはり 1 次元多様体であることを示せ（ここでも次元の一意性は認めてよい）。