２００１年度幾何学Ａ演習（第７回） ’01/5/30 15:00〜16:30

ℝ^{2} の座標を用いるときには特に断らない限り自然な物（普通の物）を用いる。

定義１． ℝ^{2} の点 p を任意に固定し、 p を始点とする ℝ^{2} の方向ベクトル全体を T_{p}ℝ^{2} と書く。 T_{p}ℝ^{2} の元は成分を用いて (a, b)、（a, b ∈ ℝ）と書くことが出来るが、特に (1, 0) にあたるベクトルを\frac{∂}{∂x}_{p}、 (0, 1) にあたるベクトルを\frac{∂}{∂y}_{p} と書く。また、 T_{p}ℝ^{2}

の元 v = (a, b), w = (a′, b′) についてその和 v + w を v + w = (a + a′, b + b′)、定数倍

kv を kv = (ka, kb) で定義する。したがって、 T_{p}ℝ^{2} の一般の元 (a, b) は a\frac{∂}{∂x}_{p} +b\frac{∂}{∂y}_{p}

と書くことができる。

注意２．\frac{∂}{∂x}_{p} のことを\frac{∂}{∂x}|_{p} 若しくは\frac{∂}{∂x}(p) と書いたりもする。

このように書くと偏微分の記号と紛らわしいが、これはわざとである。問題７、８を参照のこと。

注意３．定義によりベクトル空間として T_{p}ℝ^{2} ≅ ℝ^{2} （同型）である。このような T_{p}ℝ^{2} をすべて集めた集合は p が ℝ^{2} の分だけあるので少なくとも集合としては

ℝ^{2} × ℝ^{2} である： ⋃_{p∈ℝ^{2}} T_{p}ℝ^{2} = ℝ^{2} × ℝ^{2}。一方、 T_{p}ℝ^{2} ≅ ℝ^{2} であるとすると、任意の

p, q ∈ ℝ^{2} について T_{p}ℝ^{2} = ℝ^{2} = T_{q}ℝ^{2} のような気がする。これは（大した根拠も無く）\frac{∂}{∂x}_{p} = \frac{∂}{∂x}_{q}, \frac{∂}{∂y}_{p} = \frac{∂}{∂y}_{q} と思っているわけで、ある意味では正しいがある意味

では正しくない。取りあえずここではわざわざ T_{p}ℝ^{2} と書くからにはなにか意味があると思っていればよい。

定義４． ℝ^{2} の各点 p に対し、 T_{p}ℝ^{2} の元 X(p) を対応させる対応を ℝ^{2} のベクトル場といい、 X で表す。 T_{p}ℝ^{2} = ℝ^{2} と思えば X は ℝ^{2} から ℝ^{2} への写像である。

問題５． ℝ^{2} の曲線 ℓ : ℝ → ℝ^{2} を考える。 ℝ の座標を t、 ℝ^{2} の座標を (x, y) で表すことにする。このとき、 ℓ の速度ベクトル (\frac{∂ℓ_{1}}{∂t} (t), \frac{∂ℓ_{2}}{∂t} (t)) は T_{ℓ(t)}ℝ^{2} の元である

が、これを\frac{∂}{∂x}_{_{ℓ}(t)}, \frac{∂}{∂y}_{_{ℓ}(t)} を用いてあらわせ。ただし、 ℓ_{1}, ℓ_{2} は ℓ を座標で表したと

きの成分とする。

問題６．以下で定義されるベクトル場を図示せよ。ただし、 p = (x, y) とする。

0) X(p) = −x\frac{∂}{∂x}_{p} − y \frac{∂}{∂y}_{p} （これは例題）

1) X(p) = \frac{∂}{∂x}_{p}

2) X(p) = x\frac{∂}{∂x}_{p} + y \frac{∂}{∂y}_{p}

3) X(p) = −y \frac{∂}{∂x}_{p} + x\frac{∂}{∂y}_{p}

4) X(p) = −x\frac{∂}{∂x}_{p} + \frac{∂}{∂y}_{p}

問題７． ℓ を ℝ^{2} の曲線で、 ℓ(0) = 0, \frac{dℓ}{dt}(0) = \frac{∂}{∂x}_{0} なるものとする。 1) このような ℓ の例を一つ挙げよ。

2) f を ℝ^{2} で定義された任意の滑らかな（C^{∞}–級の）の関数とする。 1) で挙げた ℓ について\frac{d(f ∘ ℓ)}{dt}(0) = \frac{∂f}{∂x} (0) である事を示せ。

3) 実は ℓ の取り方に依らず\frac{d(f ∘ ℓ)}{dt}(0) = \frac{∂f}{∂x} (0) である事を示せ。ヒント：ℓ(t) = (ℓ_{1}(t), ℓ_{2}(t)) と座標で表すと、 ℓ(0) = 0 なので ℓ_{1}(0) = ℓ_{2}(0) = 0 である。また、\frac{dℓ}{dt}(0) = \frac{∂}{∂x}_{0} であるから、 (\frac{dℓ_{1}}{dt} (0), \frac{dℓ_{2}}{dt} (0)) = \frac{∂}{∂x}_{0} であ

るが、これは定義から\frac{dℓ_{1}}{dt} (0) = 1 かつ\frac{dℓ_{2}}{dt} (0) = 0 ということである。一

方、\frac{d(f ∘ ℓ)}{dt}(t) = \frac{∂f}{∂x} (ℓ(t))\frac{dℓ_{1}}{dt} (t) + \frac{∂f}{∂y} (ℓ(t))\frac{dℓ_{2}}{dt} (t) である。

問題８．（問題７の続き）更に一般に、 ℓ を ℝ^{2} の曲線で、 ℓ(0) = 0 なるものとす

る。\frac{dℓ}{dt}(0) = a\frac{∂}{∂x}_{0} + b\frac{∂}{∂y}_{0} とするとき\frac{d(f ∘ ℓ)}{dt}(0) = a\frac{∂f}{∂x} (0) + b\frac{∂f}{∂y} (0) であること

を示せ。

注意９．ここまでは ℝ^{2} で考えてきたが、 ℝ でも ℝ^{3} でも成分の数が変わるだけで全く同様に定義する。例えば、 T_{p}ℝ ≅ ℝ であって、 ℝ の座標を x とするとき、\frac{∂}{∂x}_{p} (p ∈ ℝ) とは p における大きさ 1 の正の向きの単位ベクトルである。