２００１年度解析学Ｉ演習（第１２回） ’01/7/16 15:00〜16:30

問１．

1) ℝ 上定義された無限回微分可能な関数 f で、 ℝ 上至る所下に凸であるものの例を挙げよ。

2) f を 1) のような関数とする。 a_{2} > f(a_{1}), b_{2} > f(b_{1}) とすると、 (a_{1}, a_{2}), (b_{1}, b_{2}) を結ぶ直線は f のグラフと交わらないことを示せ（ヒント：交わったと仮定してその交点で f のグラフの接線を引くと矛盾が生じる）。

3) f を ℝ 上定義された無限回微分可能な関数とする。 2) とは逆に、任意の a_{1}, b_{1} ∈ ℝ について、 a_{2} > f(a_{1}), b_{2} > f(b_{1}) とするとき (a_{1}, a_{2}), (b_{1}, b_{2}) を結ぶ直線が f のグラフと交わらないとすると、 f は下に凸であることを示せ。

問２．以下の不定積分を求めよ。

1) ∫ \frac{dx}{x^{2} + 6x + 8} 2)∫ \frac{2x − 5}{(x + 3)(x + 1)^{2}} dx 3)∫ \frac{x}{x^{4} − 1}dx

4) ∫ \frac{x − 1}{(x + 2)(x − 3)}dx 5)∫ \frac{x^{2} + x − 1}{x^{3} + x^{2} − 6x}dx 6)∫ x^{2}(x + 1)^{2}(x − 2)dx

問３．以下の不定積分を求めよ。

1) ∫ \frac{dx}{\sqrt{x − x^{2}}}  2)∫ \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} − 1}}dx  3)∫ \sqrt{\frac{x + a}{x + b}}dx
4) ∫ \frac{dx}{\sqrt{1 − x − x^{2}}}  5)∫ x^{2}\sqrt{a^{2} − x^{2}}dx  6)∫ (x + 1)^{2}\sqrt{1 − x^{2}}dx

問４．以下の不定積分を求めよ。

1) ∫ \frac{1 − a^{2}}{1 − 2a cos x + a^{2}} dx ただし a^{2} < 1

2) ∫ \frac{x + sin x}{1 + cos x}dx  3)∫ \frac{sin x}{1 + sin x}dx  4)∫ \frac{dx}{sin x cos x}

5) ∫ \frac{dx}{(sin x cos x)^{2}} 6)∫ \frac{sin x cos x}{cos^{4} x + sin^{4} x}dx