２００１年度解析学Ｉ演習（第１０回；第９回のプリントは無し） ’01/7/2 15:00〜16:30

問１． x は実数とする。

1) F を x の連続関数 f_{ij} （1 ≤ i, j ≤ n）を成分とする行列とするとき、関数 det F （つまり x ↦ det F (x) なる関数）が連続であることを示せ。

2) 1) の関数 det F が ∀x, det F (x) ≠ 0 を満たすとき、 G(x) を F (x) の逆行列とすると、 G の各成分は x の連続関数であることを示せ。

2.5) ℝ 上の ℤ-値関数 f が連続であることと、 f が定値関数であることが同値であることを示せ。

3) F = ( \begin{matrix}f_{11} & f_{12} \\ f_{21} & f_{22} \end{matrix} ) とし、各成分は x の連続関数とする。このとき、関数 rank F

（ここで、 rank F で行列 F の階数（rank）を表す）は必ずしも連続でないことを示せ。

4) 3) の関数 rank F が連続になるための F の条件を求めよ。

問２．

1) lim_{x→∞} \frac{x}{e^{x}} = 0 を示せ（ヒント： Taylor の定理を使うと易しい）。

2) lim_{x→∞} \frac{x^{n}}{e^{x}} = 0 を示せ。ただし、 n > 1 とする。

3) 任意の x の多項式 P について lim_{x→∞} \frac{P (x)}{e^{x}} = 0 を示せ。

問３．以下の各等式を示せ。

1) ∑_{i=0}^{n}_{n}C_{i} = 2^{n}

2) ∑_{i=1}^{n} i · nC_{i} = n2^{n−1}

問４． x > 0 の時、 f(x) = e^{− \frac{1}{x^{2}}} とする。 1) f のグラフを描け。

2) f は x > 0 で微分可能であることを示せ（ヒント： g(x) = −\frac{1}{x^{2}} , h(y) = e^{y} とすれば f = h ∘ g である）。

3) x > 0 の時、各 n ≥ 0 に対して t の多項式 Q_{n}(t) が存在して\frac{d^{n}f}{dx^{n}} (x) =

Q_{n} (\frac{1}{x}) e^{− \frac{1}{x^{2}}} と書けることを示せ（注意： Q_{n} を具体的に求めよと言っているわけではない）。

4) lim_{x↘0} \frac{d^{n}f}{dx^{n}} (x) （n ≥ 0）が存在するかどうか調べ、存在する場合には極限値を

求めよ。

5) 関数 f̃を f̃(x) = f(x) （x > 0） , f̃(x) = 0 （x ≤ 0）により定めると f̃は C^{∞} 級関数であることを示せ。

6) 関数 η を η(x) = f̃(1 − x) で定め、さらに関数 λ を λ(x) = η(x)f̃(x) で定める。このとき、関数 λ は C^{∞} 級関数であることを示し、さらに η と λ のグラフを描け。

問５．次の命題が正しいかどうか判定せよ：「ℝ 上定義された C^{∞} 級関数 f が\frac{d^{n}f}{dx^{n}} (0) =

0 （n ≥ 0）を満たせば実は f は恒等的に 0 に等しい。」（ヒント：問４をみよ）