２００１年度解析学Ｉ演習（第７回） ’01/6/11 15:00〜16:30

問１． f を ℝ 上定義された関数とするとき、次の３つが同値であることを示せ。即ち、 i) f は連続である。 ii) ∀ϵ, ∀x, ∃δ s.t. y ∈ ℝ, |x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < 2ϵ iii) ∀ϵ, ∀x, ∃δ s.t. y ∈ ℝ, |x − y| < 5δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ϵ

問２．開区間 (a, b) で定義された関数 f が単調増加であるとする。

1) 関数 −f は単調減少であることを示せ。ここで −f とは (−f)(x) = −(f(x)) で定義された (a, b) 上の関数である。

2) x ∈ (a, b) の時 f(x) > 0 であるとする。このとき関数\frac{1}{f} は単調減少である

ことを示せ。

3) x ∈ (a, b) の時 f(x) ≥ 0 であるとする。このとき関数 f^{2} は単調増加であることを示せ。

4) x ∈ (a, b) の時必ずしも f(x) ≥ 0 ではないとき、 f^{2} は単調増加関数であるとは限らない。このような例を一つ挙げよ。

問３． lim_{x→±∞} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e を認めた上で、次の極限が存在するかどうか調べ、存

在する場合にはその値を求めよ。

1) lim_{x→∞} (1 + \frac{a}{x})^{x} （a = 0 と a ≠ 0、さらには a の正負で場合分けが必要なこ

とに注意せよ）

2) lim_{x→0}(1 + ax)^{\frac{1}{x}}

問４． lim_{x→∞} \frac{e^{x}}{x} = ∞ を認めた上で lim_{x→∞} \frac{log x}{x} = 0 を示せ。

問５． f(x) = x^{2} とする。

1) 任意の実数 a, b （a < b）について、 f^{−1}((a, b)) = {x ∈ ℝ f(x) ∈ (a, b)} は一つもしくは二つの開区間の和にかけることを示せ。

2) 逆に、 (a, b) が開区間であっても f((a, b)) は必ずしも開区間ではないことを（例を挙げることにより）示せ。

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