２００１年度解析学Ｉ演習（第５回） ’01/5/28 15:00〜16:30

問１．収束する実数列 {a_{n}} がある実数 c と全ての自然数 n に対して a_{n} < c を満たすとする。 a = lim_{n→∞} a_{n} とすると、 a ≤ c であることを示し、更に a = c なる例を一

つ挙げよ。

問２．収束する実数列 {a_{n}} がある実数 c と 100 以上の全ての自然数 n に対して a_{n} < c を満たすとする。 a = lim_{n→∞} a_{n} とすると、 a ≤ c であることを示し、更に

a_{99} ≥ c なる例を一つ挙げよ。

問３． ℝ 上定義された関数 f が ℝ の一点 x で連続であることの定義をいわゆる ϵ–δ 法を用いて述べ、関数 f : x ↦ x^{2} − x が連続であることを示せ。ただし、関数 f は全ての ℝ の点 x において連続であるとき、 ℝ 上で連続もしくは単に連続であるといわれる。

問４． f(x) = x^{2} とおく。

1) このとき、

∀ϵ ∈ ℝ, ∀x ∈ ℝ, ∃δ > 0 s.t. y ∈ ℝ, |x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ϵ が成り立つが、このような δ の最大値 Δ を x と ϵ であらわせ。また、 x → ∞, x → −∞ のときの Δ の様子を調べよ。

2-1) 良く似た主張

∀ϵ ∈ ℝ, ∃δ > 0 s.t. ∀x ∈ ℝ, ∀y ∈ ℝ, |x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ϵ の否定命題を述べよ。

2-2) 上の主張は正しくない事を示せ。もしくは 2-1) で述べた否定命題が正しいことを示せ。

問５．実数列 {a_{n}} が n → ∞ の時 a に収束するとする。 f を ℝ で定義された連続関数とすると f(a_{n}) が n → ∞ の時収束することを示し、更にその極限値を求めよ。

問６．（問５とは逆に） f が ℝ 上の連続関数、 {a_{n}} が実数列で、 {f(a_{n})} が n → ∞ が収束するようなものであるとしても lim_{n→∞} a_{n} が存在するとは限らない。このような

例を挙げよ。

問７． f, g を ℝ 上の連続関数とするとき g ∘ f が連続であることを示せ。ここで (g ∘ f)(x) = g(f(x)) である。

問８． f を ℝ \ {0} 上の連続関数とする。今、 lim_{x↘0} f(x), lim_{x↗0} f(x) が共に存在して等

しいとする。この時 f(0) = lim_{x↘0} f(x)(= lim_{x↗0} f(x)) と定めると、 f は ℝ 上の連続関数

であることを示せ。ここで、 lim_{x↘0} f(x) とは x が x > 0 を満たしつつ 0 に近づくとき

の極限である。 lim_{x→0+0} f(x), lim_{{x→0 \atop x>0}} f(x), lim_{x↓0} f(x) などともあらわす。 lim_{x↗0} f(x) につい

ても同様。

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問 4–0．（先週の演習問題の追加分）

1) 実数列 {a_{n}} が n → ∞ のとき実数 a, b に収束するとすれば a = b である事を示せ。

2) 実数列 {a_{n}} と実数 a について、 lim_{n→∞} a_{n} = a とする。このとき、 {a_{n}} の任意の部分列 {b_{m}} について lim_{m→∞} b_{m} が存在し、 a に等しい事を示せ（普通はこのことを単に lim_{m→∞} b_{m} = a という。つまり、 lim_{m→∞} b_{m} = a (a ∈ ℝ) と書いた時点で数列の収束をも主張する）。