\documentclass[11pt]{article} \usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts} \setlength{\textheight}{45\baselineskip} \setlength{\textwidth}{15cm} \setlength{\voffset}{-3\baselineskip} \setlength{\oddsidemargin}{21pt} \setlength{\evensidemargin}{21pt} \begin{document} \def\emptyset{\varnothing} \def\empty{\varnothing} \def\setminus{\smallsetminus} \def\phi{{\varphi}} \def\epsilon{{\varepsilon}} \def\N{{\mathbb N}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \centerline{解析学XD・スペクトル理論レポート問題} \medskip \rightline{2020年12月23日} \rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)} \rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)} \rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp} \rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}} \bigskip \bigskip 以下の問題を解いて,1月21日までにレポートをITC-LMSで提出してください. \bigskip [1] $A$ を Hilbert 空間の上のコンパクト自己共役作用素とする. この $A$ をスペクトル分解するときに現れる 単位の分解 $E(\lambda)$ はどのようなものか,記述せよ. \bigskip [2] $\R$ 上の Lebesgue 測度を考える. $\R$ 上の実数値可測関数 $F(x)$を取り, $$D(A)=\{f\in L^2(\R)\mid Ff \in L^2(\R)\}$$ とおいて, $f\in D(A)$ のとき,$(Af)(x)=F(x)f(x)$ とおくことにより, 線形作用素 $A$ を定める.この $A$ のスペクトル分解に現れる 単位の分解 $\{E(\lambda)\}$ はどのようなものか, 記述せよ. \bigskip [3] $\{\alpha_n\}_{n=1,2,\dots}$ を複素数列とする. $H$ を可分な無限次元 Hilbert 空間,$\{e_n\}_{n=1,2,\dots}$ をその完全正規直交系とする. $e_n$ たちの有限1次結合全体のなす空間を $D(A)$ とおき, $D(A)$ を定義域とする線形作用素 $A$ を $Ae_n=\alpha_n e_{2n}$ によって定める. (1) $A$ は可閉であることを示し,$A$ の閉包 $B$ を具体的に 記述せよ. (2) $A^*$ はどのような作用素か.具体的に記述せよ. \bigskip [4] $H=L^2(\R)$, $D(A)=C_0^\infty(\R)\subset H$ とする. $D(A)$ を定義域とする作用素 $A$ を, $(Af)(x)=f''(x)$ で定める.このとき $A$ は可閉であって, その閉包が自己共役になることを示せ. \bigskip [5] $A$ を Hilbert 空間 $H$ 上の有界線型作用素とし,$A\ge0$ とする. $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\lambda \;dE(\lambda)$ をそのスペクトル分解としたとき, $\displaystyle\int_0^\infty \lambda^{1/2} \;dE(\lambda)$ は $A^{1/2}$ に等しいことを示せ. \bigskip [6] 複素平面の開単位円板の上の正則関数 $f(z)$ で, $\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$ と Taylor 展開した時に $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty |c_n|^2 < \infty$ となるようなもの全体のなす 空間を $H^2$ と書く.このような $f(z)$ を $\{c_n\}_n \in \ell^2$ と同一視することにより,$H^2$ は Hilbert 空間になる. \[ D(A)=\left\{f\in H^2\mid i \frac{1+z}{1-z}f(z)\in H^2\right\} \] とおき,$f\in D(A)$ に対して $(Af)(z)=i \displaystyle\frac{1+z}{1-z}f(z)$ とおく. (1) $D(A)$ は $H^2$ で稠密で,$A$ は対称作用素であることを示せ. (2) $A$ の Cayley 変換を求めよ. \end{document}