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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
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\centerline{数学IV・固有値と対角化について}
\medskip
\rightline{1999年11月5日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\bigskip
・2次行列の場合．

[2A] 固有値が，相異なる2根，$\a,\be$の場合．

$\a,\be$に対応する固有ベクトルをそれぞれ
$x,y$とし，$X=(x,y)$とすれば，
$$X^{-1}AX=\left(\matrix
\a & 0  \\
0 & \be
\endmatrix \right).$$

[2B] 固有値が2重根$\a$の場合．

行列$A-\a I$の像を見る．この行列の行列式は
0なので，像は原点だけか，または直線である．

(1) $A-\a I$の像が原点だけの場合．

$$A=\left(\matrix
\a & 0  \\
0 & \a
\endmatrix \right)$$
である．

(2) $A-\a I$の像が直線の場合．

その直線上の0でないベクトルを$x$とする．
$(A-\a I)x=cx$となる数$c$があるので，$\a+c$は固有値であるが，
今固有値は$\a$しかないので，$c=0$であり，
$Ax=\a x$である．次に$x$と平行ではないベクトル$y$を取る．
$(A-\a)y=ax$となる数$a$がある．

(i) $a=0$の場合．場合(1)の方になってしまうので矛盾する．

(ii) $a\neq0$の場合．$y$を$y/a$で置き換えることにより，
$(A-\a)y=x$とできる．
$X=(x,y)$とすれば，
$$X^{-1}AX=\left(\matrix
\a & 1  \\
0 & \a
\endmatrix \right)$$
になる．

\bigskip

・3次行列の場合．

[3A] 固有値が，相異なる3根，$\a,\be,\ga$の場合．

$\a,\be,\ga$に対応する固有ベクトルをそれぞれ
$x,y,z$とし，$X=(x,y,z)$とすれば，
$$X^{-1}AX=\left(\matrix
\a & 0 & 0 \\
0 & \be & 0 \\
0 & 0 & \ga
\endmatrix \right).$$

[3B] 固有値が，3重根$\a$の場合．

行列$A-\a I$の像を見る．この行列の行列式は
0なので，像は原点だけか，直線か，または平面である．

(1) $A-\a I$の像が原点だけの場合．
$$A=\left(\matrix
\a & 0 & 0 \\
0 & \a & 0 \\
0 & 0 & \a
\endmatrix \right)$$
である．

(2) $A-\a I$の像が直線の場合．
まず像から0でないベクトル$x$を取る．
[2B] (2)の場合と同様にして，$Ax=\a x$である．
ベクトル$y,z$を$\det(x,y,z)\neq0$となるように取る．
この時，$(A-\a)y=ax$, $(A-\a)z=bx$となる数$a,b$がある．
ここで，$a\neq 0$または$b\neq 0$である．

(i) $a\neq 0$, $b=0$の場合．
$Ay=\a y+x$, $Az=\a z$としてよい．
$X=(x,y,z)$とすれば，
$$X^{-1}AX=\left(\matrix
\a & 1 & 0 \\
0 & \a & 0 \\
0 & 0 & \a
\endmatrix \right).$$

(ii) $a=0$, $b\neq0$の場合．(i)と同様である．

(iii) $a\neq0$, $b\neq0$の場合．
$(A-\a)y=x$, $(A-\a)z=x$としてよい．
$X=(x,y,y-z)$とすれば，
$$X^{-1}AX=\left(\matrix
\a & 1 & 0 \\
0 & \a & 0 \\
0 & 0 & \a
\endmatrix \right).$$

(3) $A-\a I$の像が平面の場合．

その像から，互いに平行ではない2本のベクトル$x,y$を取る．
%11/28はここまで．
その平面上で，$A$を考えればそれは$2\times2$行列
で表され，その固有値は$\a$だけなので，
上の[2B]が適用できる．

(i) [2B](1)の場合． $Ax=\a x$, $Ay=\a y$である．
この時，この平面上にないベクトル$z$を取って
$(A-\a)z$を見れば，これは0ではない．(これが0であれば，
$A=\a I$となって(3)の仮定に矛盾する．）改めて，これを
$x$とおき直して，
$X=(x,z,y)$とすれば，
$$X^{-1}AX=\left(\matrix
\a & 1 & 0 \\
0 & \a & 0 \\
0 & 0 & \a
\endmatrix \right)$$
となるが，これは$A-\a I$の像が直線であることを意味し，
(3)の仮定に矛盾するから起こり得ない．

(ii) [2B](2)の場合．$Ax=\a x$, $Ay=\a y+x$と仮定してよい．
この像の平面上にないベクトル$z$を取って
$(A-\a)z$を見ればそれは，$ax+by$の形である．

(a) $a=0$, $b\neq0$の時．$b=1$としてよいので，
$X=(x,y,z)$とすれば，
$$X^{-1}AX=\left(\matrix
\a & 1 & 0 \\
0 & \a & 1 \\
0 & 0 & \a
\endmatrix \right).$$

(b) $a=0, b=0$の時．これは$A-\a I$の像が直線であることを意味し，
(3)の仮定に矛盾するから起こり得ない．

(c) $a\neq0$の時．$z$を$z-ay$で置き換えれば，
上の$a=0$の場合に帰着できる．

[3C] 固有値が，2重根$\a$と他の根$\be$の場合．($\a\neq \be$.)

$\a,\be$に対応する固有ベクトル$x,y$を取る．
行列$A-\a I$の像を見る．この行列の行列式は
0であり，また$y$は像に入るので，像は直線か，
または平面である．

(1) $A-\a I$の像が直線の場合．

原点と$x,y$の乗っている平面上にないベクトル$z$を取る．
$(A-\a)z=a y$となる数$a$がある．

(i) $a=0$の時．
$X=(x,z,y)$とすれば，$\det X\neq 0$であり，
$$X^{-1}AX=\left(\matrix
\a & 0 & 0 \\
0 & \a & 0 \\
0 & 0 & \be
\endmatrix \right).$$

(ii) $a\neq0$の時．
$Az=\a z+y$としてよい．$z$を$z+y/(\a-\be)$で
置き換えれば，(i)に帰着．

(2) $A-\a I$の像が平面の場合．

この平面から，$y$に平行でないベクトル$z$を取る．
$Az=\a z+ay+bz$となる数$a,b$がある．

(i) $a=0$の時．$Az=(\a+b)z$となり，$\a+b$は固有値である．
固有値$\be$に対応する固有ベクトルは$y$に平行なものだけ
だから，この固有値$\a+b$は$\a$に等しい．つまり$b=0$である．
$\det(x,y,z)\neq0$とすると，$X^{-1}AX$を
$$\left(\matrix
\a & 0 & 0 \\
0 & \be & 0 \\
0 & 0 & \a
\endmatrix \right)$$
の形にできて$A-\a I$の像が平面であることに
矛盾する．つまり，$\det(x,y,z)=0$であり，$z$の取りかたから，
$z=cx+dy$の形に書けて，$c\neq0$である．よって，
像の平面に$x$が含まれる．

(ii) $a\neq0$の時．$a=1$としてよく，
$(A-\a-b)z=y$となる．
$\det(x,y,z)\neq0$とすると，$X^{-1}AX$を
$$\left(\matrix
\a & 0 & 0 \\
0 & \be & 1 \\
0 & 0 & \a+b
\endmatrix \right)$$
の形にできるが，この行列の固有値は
$\a,\be,\a+b$だから$b=0$となる．これは$A-\a I$の像が
平面という(2)の仮定に矛盾する．
だから$\det(x,y,z)=0$であり，これより
$z=cx+dy$の形に書けて，$c\neq0$である．よって，
やはり像の平面に$x$が含まれる．

以上より，次の場合を考えればよい．

$(2)'$ $A-\a I$の像が平面でその平面に$x$も含まれる場合．

新たにベクトル$z$を平面の外に取る．$\det(x,y,z)\neq0$
であり，
$Az=\a z+ax+by$となる数$a,b$がある．

(a) $a=0, b=0$の時．
$X^{-1}AX$を
$$\left(\matrix
\a & 0 & 0 \\
0 & \be & 0 \\
0 & 0 & \a
\endmatrix \right)$$
の形にできて，
$A-\a I$の像が像が平面であることに矛盾する．

(b) $a=0, b\neq 0$の時．$b=1$としてよいので，$X^{-1}AX$を
$$\left(\matrix
\a & 0 & 0 \\
0 & \be & 1 \\
0 & 0 & \a
\endmatrix \right)$$
の形にできて，
$A-\a I$の像が平面であることに矛盾する．

(c) $a\neq 0$の時．$z$を，$z+by/(\a-\be)$で置き換えれば，
$Az=\a z+ax$とできる．$a=1$としてよいので，
$X=(x,z,y)$とすれば，
$$X^{-1}AX=\left(\matrix
\a & 1 & 0 \\
0 & \a & 0 \\
0 & 0 & \be
\endmatrix \right)$$
となる．
\bye