\magnification=\magstep1
\documentstyle{amsppt}
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\def\be{\beta}
\def\ga{\gamma}
\def\e{\varepsilon}
\def\Q{\bold Q}
\def\R{\bold R}

\nopagenumbers

\centerline{1998年度理科II, III類1年生 数学IA演習・小テスト(14)}
\rightline{1998年7月21日・河東泰之}
\rightline{数理科学研究科棟310号室 (電話 5465-7024)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{homepage http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}
\bigskip

答案の一番上に氏名と学生証番号を書いてください．
(組は書かなくてもけっこうです．)自分のノートを
参照してもけっこうです．

\bigskip [1]
次の重積分の値を求めよ．

(1) $\dsize\int_D (px^2+qy^2)\;dx\;dy,\quad 
D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\}.$

(2) $\dsize\int_{\R^2}
(x^2+y^2)e^{-(x^2+y^2)^2}\;dx\;dy.$

(3) $\dsize\int_D \sin(x+y)\;dx\;dy,\quad 
D=\{(x,y)\mid x\ge0, y\ge0, x+y\le \pi/2\}.$

\bigskip [2]
$f(x)$は$\R$上の連続微分可能な関数とする．
$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\}$としたとき，
$$\dsize\int_D f'(x^2+y^2)\;dx\;dy=\pi(f(1)-f(0))$$
であることを示せ． 

\bigskip [3]
$p, q>0$とする．
$$\align
B(p,q)&=2\int_0^{\pi/2} \cos^{2p-1} \theta \sin^{2q-1} \theta
\;d\theta,\\
\Gamma(p)&=\int_0^\infty e^{-x}x^{p-1}\;dx \endalign$$
とおく．

(1) $\Gamma(p)$の右辺の広義積分は収束していることを示せ．

(2) $B(p,q)=\dfrac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$
を示せ．

\bye