\magnification=\magstep1 \documentstyle{amsppt} \def\a{\alpha} \def\be{\beta} \def\ga{\gamma} \def\e{\varepsilon} \def\Q{\bold Q} \def\R{\bold R} \nopagenumbers \centerline{1998年度理科II, III類1年生 数学IA演習・小テスト解説(10)} \rightline{1998年6月26日・河東泰之} \rightline{数理科学研究科棟310号室 (電話 5465-7024)} \rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp} \rightline{homepage http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/} \bigskip 配点は[1]から順に$20\times3$, $10\times4$点です. 平均点は48.7点,最高は90点(2人)でした. この授業では,$f(x,y)$が$(a,b)$で極大値を取ることの定義は, 「$(a,b)$の近くで$(x,y)\neq(a,b)$のとき, $f(x,y) < f(a,b)$であること」です.したがって [1] (2)では円周$x^2+y^2=1$上では極大値は取りません.ですが, 「$(a,b)$の近くで $f(x,y) \le f(a,b)$であること」という定義を使っている 本もあって,こちらだと [1] (2)の関数は円周$x^2+y^2=1$上で極大値を取ることになります. こちらの定義を使っていることがはっきりしている答案の場合は 減点してありません. 略解は次のとおりです. \bigskip [1] (1) まず,$f_x=f_y=0$となる点は, $(0,0), (0,1), (1,0), (1/3, 1/3)$の4つである. 通常の判定法により, このうち極値になるのは$(1/3,1/3)$だけで,極大値$1/27$を取る. (2) $x^2+y^2=c$となる円上で関数$f(x,y)$は一定値を取るので 原点以外では極値は取らない.原点では明らかに極小値0を取る. (偏微分すると,$f_x=f_y=0$となる点は,$(x,y)=(0,0)$と 円周$x^2+y^2=1$上の点になる.) (3) $f_x=-6x^2+6xy+6y^2+6x$, $f_y=3x^2+12xy+9y^2$ より$(0,0),(1,-1),(9/11,-3/11)$. このうち$(1,-1)$で極大値$1$. (点$(0,0)$では通常の方法では極値かどうか分からないが, $x=0$または$y=0$とおくことにより極値ではないことがわかる.) \bigskip [2] (1) 周期関数なので一様連続になる.あるいは,微分した$\cos x$ が有界なことと平均値の定理を組み合わせてもよい. (2) 一様連続ではない.$x_n=\sqrt{n \pi}$, $x'_n=\sqrt{(n +\frac{1}{2})\pi}$として$n\to\infty$とすれば $x_n-x'_n\to0$だが,$|f(x_n)-f_(x'_n)|=1$となるからである. (3) 微分したものが有界なので,平均値の定理より 一様連続である.あるいは直接$|f(x)-f(x')|$を計算して評価 してもよい.あるいは,$\lim_{n\to\pm\infty}f(x)=0$であることを 使ってもできる. (4) $|f(1/\delta)-f(\delta+1/\delta)|$を計算して, 一様連続ではないことがわかる. \bye