\magnification=\magstep1 \documentstyle{amsppt} \baselineskip 14pt \NoBlackBoxes \nopagenumbers \define\R{\bold R} \define\Q{\bold Q} \define\Z{\bold Z} \define\e{\varepsilon} \def\lan{\langle} \def\ran{\rangle} \centerline{2008年度数学I演習小テスト(3)} \medskip \rightline{2008年5月22日} \rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)} \rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)} \rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp} \rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}} \bigskip このテストは,ノート,本,コピーなどすべて持ち込み可で行います. 途中の計算,説明などをきちんと書いてください. 答案用紙は1枚両面です.それに収まるように書いてください. $\boxed{\text{氏名と学生証番号を答案の一番上に書いてください.}}$ \bigskip [1] 1以上の整数 $n$ について,$a_n=1-\dfrac{1}{n^2}$ とおき, $b_n=a_3 a_5 a_7\cdots a_{2n+1}$ とおく. $\dsize\lim_{n\to\infty} b_n$ を求めよ. \bigskip [2] $\alpha>0$ とする.$\dsize\int_1^\infty \frac{1}{x^\alpha}\;dx$ が有限の値を持つのはどのようなときか. \bigskip [3] $\dsize\int_{-\infty}^\infty e^{ax^2+bx+c}\;dx$ を 求めよ.ただし,$a,b,c$ は実数で $a < 0$ とする. \bigskip [4] 次のそれぞれの極限値を求めよ. (1) $\dsize\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+x)-x+x^2/2}{x^3}$. (2) $\dsize\lim_{x\to 0}\frac{x^2-\sin x^2}{x^6}$. (3) $\dsize\lim_{x\to 1}\frac{6e^{x-1}-(x^3+3x+2)}{(x-1)^4}$. \bigskip [5] $\dsize\lim_{x\to 0}\frac{e^x-a-bx-cx^2-dx^3}{x^4}$ が存在するような 実数 $a,b,c,d$ を求めよ. \bye