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\centerline{2008年度数学I演習小テスト(1)解説}
\medskip
\rightline{2008年5月8日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は各小問10点ずつです．
最高点は100点(5人)，平均点は63.2点でした．
以下簡単に解説します．(これは「模範解答」ではありません．必要なものについて
は授業中にもっと詳しく解説します．)

\bigskip
[1] (1) どうやってもできますが，きちんとわかってほしいことは左辺の意味は
$\dsize\lim_{n\to\infty}0.\underbrace{99\cdots9}_{n\text{\rm 個}}$であると
いうことです．

(2) 「弧長や面積をきれいに表せるから」というのは間違ってはいませんが，
弱い理由です．「$\sin x$ の微分は $\cos x$ 」というのはラジアンだから
こそ成り立つことです．さらにこれから Taylor 展開を学べば，ラジアンが
「自然な測り方」であることがはっきりわかります．

(3) $\dfrac{\sin (x+h)-\sin x}{h}$ を
$\dfrac{\sin ((x+h/2)+h/2)-\sin ((x+h/2)-h/2)}{h}$ と書いたあと，
$\dsize\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1$ を使います．

(4) $\dsize\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n$ あるいは
$\dsize\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$ または，
「$y=a^x$ の$x=0$ における接線の傾きが1になるような $a$」，
「$\dsize\int_1^a \frac{1}{x}\;dx=1$となる $a$」など
いろいろあります．

\bigskip [2]
(1) $a,b,x,y$ を実数として，$\alpha=a+bi$, $z=x+iy$ とおけば，
$x^2-y^2=a, 2xy=b$ を解くことになります．「$a,b$のどちらも0でない場合」
と「$a,b$の片方が0である場合」についてグラフを描いて考えればわかります．

(2) 平方完成による通常の解の公式の導出を見れば，係数が複素数でも
そのまま成り立つことがわかります．

\bigskip [3]
$(1+1)^n$ に2項定理を使うと，$n\ge4$ のとき，
$2^n\ge n(n-1)(n-2)(n-3)/4!$ がわかります．これより，
$\dsize\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=0$ がわかります．

$n\ge 3$ のとき，$2^n/n!\le2 (2/3)^{n-2}$ なので，
$\dsize\lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{c_n}=0$ がわかります．

$x_n=\dfrac{c_n}{d_n}$とおくと，2項定理より
$\dsize\frac{x_n}{x_{n+1}}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\ge2$ となります．
これより，$x_n\le x_1/2^{n-1}$ となって 
$\dsize\lim_{n\to\infty} \frac{c_n}{d_n}=0$ がわかります．

\bigskip [4] どの本にでも出ているので省略します．

\bye