\magnification=\magstep1 \documentstyle{amsppt} \baselineskip 14pt \NoBlackBoxes \nopagenumbers \define\R{\bold R} \define\Q{\bold Q} \define\Z{\bold Z} \define\e{\varepsilon} \def\lan{\langle} \def\ran{\rangle} \centerline{2008年度数学I演習小テスト(13)} \medskip \rightline{2009年1月29日} \rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)} \rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)} \rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp} \rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}} \bigskip このテストは,ノート,本,コピーなどすべて持ち込み可で行います. 途中の計算,説明などをきちんと書いてください. 答案用紙は1枚両面です.それに収まるように書いてください. $\boxed{\text{氏名と学生証番号を答案の一番上に書いてください.}}$ $\boxed{\text{試験中に話をしているものは 不正行為とみなして答案用紙を取り上げます.}}$ $\boxed{\text{指定された座席についてください. 着席してから試験を開始します.}}$ 試験時間は$\boxed{\text{80分}}$です.その後授業評価アンケートを行います. \bigskip [1] 次の命題を否定した命題を日本語で書け.$\forall, \exists$ などの記号は使わないこと. ただし,$\bold R$ は実数全体の集合を表す. $$\forall a > 0 \; \exists b > 0 \; \forall x\in \R\ (\; x > b \Rightarrow x > a^2\;)$$ \medskip [2] $\tan 0.1$ を四捨五入で小数点以下4桁まで求めよ. (小数点以下5桁目を四捨五入して,4桁までにすると言う意味である. 答えの数値が正しいことの根拠をきちんと示すこと.) \medskip [3] 次の重積分の値を求めよ. $$\dsize\int_D \frac{y^2}{x}\;dx\;dy, \quad D=\{(x,y)\mid a < xy < b, c < y/x^2 < d\}.$$ ただし,$a,b,c,d$ は $0< a < b, 0< c < d$ を満たす実数である. \medskip [4] 次の重積分の値を求めよ. $$\dsize\int_D xy \;dx\;dy, \quad D=\{(x,y)\mid x > 0, y >0, a^2 < x^2+y^2 < b^2, \tan \alpha < y/x < \tan \beta\}.$$ ただし,$a,b,\alpha,\beta$ は $0 < a < b, 0 < \alpha < \beta < \pi/2$ を満たす実数である. \bye