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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{数理科学 II 期末テスト}
\medskip
\rightline{2007年7月25日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

このテストは，ノート，本，コピーなどすべて持ち込み可で行います．
途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．
(多少欄外にはみ出してもかまいません．)

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[1] 次のそれぞれの微分方程式を解け．解が本当にそれだけである
理由をきちんと説明すること．
(解の一意性に関する一般論を適用する場合は，
何をどのように適用したかを述べること．)

\medskip (1) $(x^2-x)y'=(2x-1)y$.

\medskip (2) $y'- y\cos x =(x^2+2x+3)e^{\sin x}$.

\medskip (3) $y''-4y'+4y=2e^{2x}$.

\medskip
[2] ある定数係数線型常微分方程式について，
$x+\sin x$ は解の一つであり，また $x+e^x$ も解の一つであるとする．
このような定数係数線型常微分方程式のうち，階数の最も低いものを
求めよ．

ただし，定数係数線型常微分方程式
$y^{(n)}+c_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+c_1y'+c_0y=f(x)$ の
階数とは $n$ のことであり，今 $c_0,c_1,\dots,c_{n-1}$ は
実数としている．

\medskip
[3] $a,b,c,d$ を実数の定数，$f(x), g(x)$ を実数全体で定義された
実数値連続関数とする．
$y''+ay'+by=f(x)$ の解全体の集合を，$V_1$, 
$y''+cy'+dy=g(x)$ の解全体の集合を，$V_2$ とし，
$V=\{y_1-y_2\mid y_1 \in V_1, y_2 \in V_2\}$ とおく．
(解はすべて実数全体の上の関数と考えている．) $V$ が実数上のベクトル空間
になり，かつその次元が 2 になるための必要十分条件を求めよ．

\medskip
[4] 実数全体で定義された実数値関数 $f(x)$ について，
ある区間 $[p,q]$ が，すべての $f(x)$ の値を含むように取れるとき，
$f(x)$ は有界であると言う．次の問いに答えよ．

(1) 微分方程式 $y'''+ay''+by'+cy=0$ のすべての解が有界であるための
必要十分条件を求めよ．ただし，$a,b,c$ は実数の定数であり，微分方程式は
実数全体の上で考えている．

(2) 微分方程式 $y'''+ay''+by'+cy=\sin x$ のすべての解が有界であるための
必要十分条件を求めよ．ただし，$a,b,c$ は実数の定数であり，微分方程式は
実数全体の上で考えている．

\bye