\magnification=\magstep1 \documentstyle{amsppt} \baselineskip 12pt \NoBlackBoxes \nopagenumbers \define\R{\bold R} \define\Q{\bold Q} \define\Z{\bold Z} \define\e{\varepsilon} \def\lan{\langle} \def\ran{\rangle} \centerline{数理科学 II 期末テスト} \medskip \rightline{2005年7月25日} \rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)} \rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)} \rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp} \rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}} \bigskip このテストは,ノート,本,コピーなどすべて持ち込み可で行います. 途中の計算,説明などをきちんと書いてください. 答案用紙は1枚両面です.それに収まるように書いてください. (多少欄外にはみ出してもかまいません.) \bigskip [1] 次のそれぞれの微分方程式を解け.解が本当にそれだけである 理由をきちんと説明すること. (解の一意性に関する一般論を適用する場合は, 何をどのように適用したかを述べること.) \medskip (1) $y'=\dfrac{-2xy}{x^2+1}$. \medskip (2) $y'''-3y''+4y=4x^2-6,\quad y(0)=2, y'(0)=0, y''(0)=3$. \medskip (3) $x^2 y'-3xy=-4, \quad y(1)=0$. 範囲は $x>0$. \medskip [2] 微分方程式 $$y^{(n)}+c_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+c_1 y'+c_0 y=0$$ を考える.ただしここで,$n$ は1以上の整数, $c_{n-1},c_{n-2},\dots,c_0$ はすべて実数の定数である. この形の微分方程式で,$y=x\cos x$ を解に持つようなものの中で, $n$ が最も小さいものを求めよ. \medskip [3] 微分方程式 $$y^{(n)}+c_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+c_1 y'+c_0 y=f(x)$$ を考える.ただしここで,$n$ は1以上の整数, $c_{n-1},c_{n-2},\dots,c_0$ はすべて実数の定数, $f(x)$ は実数全体で定義された実数値の連続関数である. この形の微分方程式で,$y=e^{2x}+e^{3x}$ と $y=e^{-x}+e^{3x}$ を解に 持つようなものの中で,$n$ が最も小さいものを求めよ. \medskip [4] 微分方程式 $(x^2-y^2)y'=2xy$ を考える.この方程式の初期値 $(x_0,y_0)$ で,その点を通るような解が一つもないものをすべて求めよ. \medskip [5] $a,b$ を実数とし,微分方程式 $y''+ay'+by=0$ に対し,次の $V$ を考える. $$V=\{y\mid y\text{は実数値を取る,上の微分方程式の解で} \lim_{x\to\infty} y(x)=0\}.$$ この $V$ は実数係数のベクトル空間であるが,その次元が1である ための必要十分条件を, $a, b$ で表せ. \bye