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\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{数理科学 II 中間テスト(2)}
\medskip
\rightline{2005年6月20日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

このテストは，ノート，本，コピーなどすべて持ち込み可で行います．
途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

\bigskip
[1] 次のそれぞれの微分方程式を解け．解が本当にそれだけである
理由をきちんと説明すること．
(解の一意性に関する一般論を適用する場合は，
何をどのように適用したかを述べること．)

(1) $y''=-y$, $y(0)=1$, $y'(0)=1$.

(2) $y''-6y'+9y=2 e^{3x}$.

(3) $y'-2xy-1+2x^2=0$.

\medskip
[2] 微分方程式 $xy'-y-x^2=0$ を解け．また，初期値 $(x_0,y_0)$ で
その点を通るような解が一つもないもの，および，
その点を通るような解が複数あるものを決定せよ．

\medskip
[3] $y_1(x)=e^{-2x}$, $y_2(x)=e^{2x} \sin 3x$, $y_3(x)=e^{2x} \cos 3x$
とおく．
$$\text{det}\left(\matrix
y_1(x) & y_2(x) & y_3(x) \\
y'_1(x) & y'_2(x) & y'_3(x) \\
y''_1(x) & y''_2(x) & y''_3(x)
\endmatrix\right)$$
を求めよ．

\medskip
[4] $a,b$ を実数とし，微分方程式 $y''+ay'+by=0$ を考える．
この微分方程式が，定数関数 $0$ 以外に，無限回値$0$を取るような
解を持つための必要十分条件を， $a, b$ で表せ．

\bye