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\centerline{数理科学 II 中間テスト(2)解答解説}
\medskip
\rightline{2003年7月15日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip


配点は順に $15\times 3$, 20, 20, 15, 10+10点の120点満点です．
採点ミスがあると思う人は，ただちに申し出て下さい．
(返却する答案は，すべてコピーが取ってあります．)

このテストの最高点は 93点(1人)，平均点は49.2点，その得点の
分布は次のとおりです．

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&& \omit &&\omit &&\omit
&\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--49 (点) && 50--59 && 60--69
&& 70--79  && 80--89 && 90--99 && 100-- & \cr
\vsp\t
&  49 (人) && 22 &&  18 && 7  && 6 &&  4 && 0 & \cr
\vsp\t
}}$$

このテストでは，しかるべき得点分布になるように配点，採点基準
で調節してもらう予定でしたが，残念ながらそのようになっていません．
そこで当初の予定を変更し，最終成績に加味する中間テストの点数
としては今回の点数を 1.3 倍したものを使います．(ただし100点を
超えた場合は100点で頭打ちです．) 式で書けば，
中間テストの点数を $x$, 期末テストの点数を $y$ としたとき，
最終成績は $0.7 y + 0.3 \max(y, \min(100, 1.3 x))$ (を四捨五入
した点数)となります．

解答と簡単な解説は次のとおりです．

\bigskip
[1] (1) 解の存在と一意性が使える形．$y=0$ は明らかに解．
それ以外の解は値0をとらないので，$y^2$で両辺を割って，変数分離形．
答えは $y=\dfrac{1}{x^2+C}$, $C$ は定数, または $y=0$.

\medskip (2) $\sin x\neq 0$ では，解の存在と一意性が使える形．
$\sin x$ で両辺を割れば1階線形方程式．$y=\cos x$ は特殊解なので，
$y ＝C \sin x+\cos x$ を得る．ここまでだと，$x=n\pi$ を超えるときに
$C$ の値が変わるかもしれないが，$x=n\pi$ の点でも $y$ が微分可能につな
がっていないといけないので $C$ は全体で定数で，これだけが解．

\medskip (3) 解の存在と一意性が使える形．
右辺を $4x^2$ としたときの特殊解と，
右辺を $e^x$ としたときの特殊解と，
右辺を $0$ としたときの一般解を足せばよい．答えは
$y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + 2x^2 + 6x + 7 - x e^x$.

\bigskip
[2] 2次方程式の根が $t=1\pm i$ になるように選ぶことにより，
斉次方程式 $y''-2y'+2y=0$ を得る．あとは，$e^{2x}$ が特殊解に
なるように非斉次方程式の右辺を決めればよい．答えは
$y''-2y'+2y=2e^{2x}$ である．(両辺に0でない定数をかけてもよい．)

\bigskip
[3] これは完全形の微分方程式で，$x^2+y^2=c$ となる．
一般解は $y=\pm\sqrt{c-x^2}$ ($c$ は正の定数)で，$x$ の動く範囲は
$-\sqrt c < x < \sqrt c$ である．($x=\pm\sqrt c$ では微分可能で
ない．) また，この解が通らない点は，
$\{(a,0)\mid a\text{は任意の実数}\}$であるから，これが解を持たない
初期値の集合である．

あるいは，$y\neq0$ の範囲では，両辺を $y$ で割れば，普通の変数分離形
になり，解の存在と一意性が使える形になる．ほかにあるかもしれない解の
可能性は，グラフが $y=0$ という直線上に乗っている場合しか残されていない
が，そのような解は
ないことはすぐにわかるので，こちらからも上と同じ結論が導かれる．

\bigskip
[4] 3次方程式 $t^3+at^2+bt+c=0$ は少なくとも一つの実根 $\alpha$
を持つ．$y=e^{\alpha x}$ が有界な解であるためには， $\alpha=0$が
必要十分であるので，まず $c=0$ を得る．
次に，$t^3+at^2+bt+c=0$ が重根 $0$ を持ってしまうと
有界でない関数 $y=x$ を解に持ってしまうので，0 は単根．このとき
2次方程式 $t^2+at+b=0$を見ると，微分方程式のすべての解が有界になるための
必要十分条件は，この2次方程式が0でない純虚数の2根を
持つことである．あわせてすなわち，答えは，$a=c=0$, $b > 0$.

\bigskip
[5]
(1) $f(x+1)$ を次々微分していったものは，
$f'(x+1), f''(x+1), f'''(x+1)$ なので，$y=f(x)$が
$y'''+ay''+by'+cy=0$ を満たせば，$y=f(x+1)$ も満たす．
また写像$A$が，和と定数倍を保つこともすぐにわかる．

$f(x)$ のありうる形は，指数関数，三角関数などに限られているので
すべての可能性を列挙して，それぞれについて $A$ を記述してもできるが
めんどうである．

(2) 条件を言い換えると，$f(x)=f(x+1)$となる解がある，ということである．
さらに言い換えれば，周期1の周期関数が解になる，ということでもある．
ここで，周期1というのは，定数である場合や，周期が $1/k$ ($k$は正の整数)
である場合も含んでいる．よって，条件は「定数関数を解に持つか，
$\sin 2k\pi x$ を解に持つ」ということである．(後者の場合，自動的に
$\cos 2k\pi x$ も解になる．) これらの場合をあわせて答えは，
$c=0$ または 「ある自然数 $k$ に対して
$c=4k^2\pi^2 a$ かつ $b=4k^2\pi^2$」である．

\bye