\magnification=\magstep1 \documentstyle{amsppt} \baselineskip 14pt \nopagenumbers \NoBlackBoxes \define\R{\bold R} \define\Q{\bold Q} \define\Z{\bold Z} \define\N{\bold N} \define\C{\bold C} \define\ep{\varepsilon} \def\limsup{\mathop{\overline{\hbox{lim}}}} \def\liminf{\mathop{\underline{\hbox{lim}}}} \centerline{解析学IV 小テストNo\. 12} \medskip \rightline{7/2/1996} \rightline{河東泰之} \bigskip 自分のノートを参照してよい.(本などは見ないこと.) \bigskip [1] $f(x)$は$\R$上の可測関数で, $\dsize\int_{\R}(1+x^2)|f(x)|\;dx<\infty$を満たすとする. この時,$\hat f(\xi)=\dsize\int_{\R} e^{-ix\xi}f(x)\;dx$と おけば, $\hat f(\xi)$は$\xi$で2回連続微分可能であることを示せ. ただし,$\xi$は実数である. \bigskip [2] $f(t,z)$を$t\in \R$, $z\in\C$の関数として,次の条件が満たされてい るとする. (1) 任意の$z\in\C$に対し,$f(t,z)$は,$\R$上$t$について Lebesgue可積分. (2) ほとんどすべての$t\in\R$に対し,$f(t,z)$は$\C$上 $z$の正則関数. (3) $\C$内の任意のcompact集合$K$について,関数$g(t)$が次の条件を 満たすように取れる. $$|f(t,z)|\le g(t),\quad(t\in\R, z\in K),\quad\quad \int_{\R} g(t)\;dt<\infty.$$ この時,$F(z)=\dsize\int_{\R} f(t,z)\;dt$は, $z\in\C$の正則関数であって, $F'(z)=\dsize\int_{\R} f_z(t,z)\;dt$であることを 示せ.ただしここで,$f_z(t,z)$は$f(t,z)$を$z$で微分 したものである. \bigskip [3] $(X, \Cal B, \mu)$を測度空間とし,$\mu(X) > 0$とし, さらに$T:X\to X$を次の3条件を満たす全単射とする. (1) $A\subset X$が$A\in\Cal B$を満たせば,$TA\in \Cal B$, $T^{-1}A\in \Cal B$. (2) $A\in \Cal B$について,$\mu(A)=\mu(TA)$. (3) $A\in \Cal B$が, $\mu(A\cap (TA)^c)=\mu(A^c \cap TA)=0$を満たせば, $\mu(A)=0$または,$\mu(A^c)=0$である. さらに,$f(x)$を$X$上の実数値可測関数とするとき, $f(x)=f(Tx)\;\;\hbox{a.e.}$であれば,ある定数$c\in\R$ が,$f(x)=c\;\;\hbox{a.e.}$となるように取れることを示せ. \bigskip 解答は別紙に書いて下さい.解答用紙の裏面を使用してもけっこうです. \bye