\magnification=\magstep1 \documentstyle{amsppt} \baselineskip 14pt \nopagenumbers \define\R{\bold R} \define\Q{\bold Q} \define\Z{\bold Z} \define\N{\bold N} \define\ep{{\varepsilon}} \centerline{解析学IV 小テストNo\. 7の簡単な解説} \medskip \rightline{1996年6月4日} \rightline{河東泰之} \bigskip[1] 例えば,$A\subset X$に対し, $$\mu(A)=\cases \infty, &\hbox{$A\neq\varnothing$の時,}\\ 0,&\hbox{$A=\varnothing$の時,}\endcases$$ とおけば,可積分なのは定数関数0だけなので一番簡単. 各点で測度0というような置き方がありましたが,この問題では ほとんどいたるところ一致する関数を同一視してはいません. ($L^1(X)$の話を知っている人はそういう風に考えたくなる でしょうが,残念でした.) \bigskip[2] 下から適当な単関数で近似すれば簡単にできます. \bigskip[3] $a_n$を$a^+_n$と$a^-_n$に分けて考えれば いいので,$a_n\ge 0$としてよい.このときは,正の項からなる 級数はどのような順序で足しても和が不変だということを使って, 積分の定義に戻って考えれば同値性がわかる.(答案ではもっと詳しく書かないと もちろん減点です.) \bigskip[4] 各$n\in\N$について,$X_n=E(f > 1/n)$とおくと, ある$n$について$\mu(X_n) > 0$となる.そのような$X_n$ について, $$\int_X f(x)\;d\mu\ge \int_{X_n} f(x)\;d\mu\ge \mu(X_n)\frac{1}{n} > 0$$ となる. $X_0=E(f > 0)$とおくと,$\mu(X_0)=\mu(X) > 0$だから, 「明らかに」$\dsize\int_{X_0} f(x)\;d\mu > 0$というのが たくさんありましたが,これを証明することがこの問題の ポイントで,少しも明らかなことではありません. (明らかなのは$\dsize\int_{X_0} f(x)\;d\mu\ge 0$です.) \bigskip 配点は各問25点です. 最高点は100点,平均点はxxx点でした. \bye