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\begin{document}
\centerline{2016年解析学特別演習Iテスト(2)}
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\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート持ち込み可で行います．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

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[1] $\mathbb R$ の部分集合の列 $\{E_k\}_k$ で，
$\limsup_{k\to\infty} E_k=[0,1]$, $\liminf_{k\to\infty} E_k=\varnothing$
となるものの例を挙げよ．

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[2] $X$ の部分集合の列 $\{E_k\}_k$ について常に
$ \liminf_{k\to\infty} E_k\subset \limsup_{k\to\infty} E_k$
となるというのは正しいか．理由をつけて答えよ．

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[3] Cantor 集合 $E$ について $\mu(E\times{\mathbb R})$ を求めよ．
ただし $\mu$ は ${\mathbb R}^2$ 上の Lebesgue 測度である．

\bigskip
[4] $U\subset{\mathbb R}^2$ を空でない有界開集合とする．
$E$ が $U$ の稠密な開部分集合全体を動くとき，$\mu(E)$ の取りうる値を
決定せよ．

\end{document}