\documentclass[a4j,12pt]{jarticle} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \pagestyle{empty} \textwidth 16cm \oddsidemargin 0in \evensidemargin 0in \textheight 22.3cm \topmargin 0in \headsep 0in \renewcommand{\topfraction}{0.95} \renewcommand{\bottomfraction}{0.95} \renewcommand{\textfraction}{0.05} \renewcommand{\baselinestretch}{1.0} \begin{document} \centerline{2016年解析学IV追試} \medskip \rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)} \rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)} \rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp} \rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}} \bigskip \centerline{\bf 問題用紙は2枚あります.} \bigskip 解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください. このテストは,ノート持ち込み可で行います. 電子機器の使用は不可です. 途中の計算,説明などをきちんと書いてください. 答案用紙に収まるように書いてください. \bigskip [1] [1] 次のすべての条件を満たす $\mathbb R$ 上の連続関数の 列の例を挙げよ. (1) $0\le f_k(x)\le 1$. (2) すべての $x$ について $\displaystyle\lim_{k\to\infty} f_k(x)=0$. (3) $\displaystyle \lim_{k\to\infty}\int_{\mathbb R} f_k(x)\;dx=0$. (4) すべての $k$ について $\displaystyle \sup_{m\ge k}f_m(x)$ は 可積分ではない. \bigskip [2] $[0,1]$ 上の Lebesgue 可測関数列 $\{f_k(x)\}_k$ が,すべての $k=1,2,3,\dots$ に対して $[0,1]$ 上 $f_k(x)\ge 0$ a.e. を満たして いるとする.次のすべての条件を満たす $[0,1]$ の Lebesgue 可測 部分集合の列 $\{E_k\}_k$ と正の実数の列 $\{c_k\}_k$ が存在する ことを示せ.ただし $\mu$ は Lebesgue 測度を表す. (1) $\mu(E_k)>1-1/2^k$. (2) $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty c_k\int_{E_k} f_k\;d\mu<\infty$. \bigskip [3] $f\in C_0^\infty({\mathbb R})$ とする.$z\in{\mathbb C}\setminus {\mathbb R}$ に対して定義された関数 $$F(z)=\int_{-\infty}^\infty f(t)\frac{1}{t-z}\;dt$$ は,$z$ の正則関数であることを示せ. \bigskip [4] $f(x)$ を $\mathbb R$ 上の複素数値有界連続関数とする. $$\lim_{k\to\infty}k \int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-k^2x^2}\;dx$$ を求めよ. \vfill\eject \bigskip [5] $x\in{\mathbb R}$ に対し,$f(x)=e^{-x^2}$ とおく. $f*f*f(x)$ を求めよ. \bigskip [6] 次のすべての条件を満たす $\mathbb R$ 上の関数 $f(x)$ の例を挙げよ. (1) $f(x)$ は連続である. (2) すべての $x\in\mathbb R$ に対し $0\le f(x) < \infty$. (3) すべての $p\in[1,\infty)$ に対し $f\in L^p(\mathbb R)$. (4) $f\notin L^\infty(\mathbb R)$. \end{document}