\documentclass[a4j,12pt]{jarticle} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \pagestyle{empty} \textwidth 15.3cm \oddsidemargin 0in \evensidemargin 0in \textheight 22.3cm \topmargin 0in \headsep 0in \renewcommand{\topfraction}{0.95} \renewcommand{\bottomfraction}{0.95} \renewcommand{\textfraction}{0.05} \renewcommand{\baselinestretch}{1.0} \begin{document} \centerline{2016年解析学特別演習Iテスト(11)} \medskip \rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)} \rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)} \rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp} \rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}} \bigskip 解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください. このテストは,ノート持ち込み可で行います. 電子機器の使用は不可です. 途中の計算,説明などをきちんと書いてください. 答案用紙は1枚両面です.それに収まるように書いてください. \bigskip [1] 次の条件すべてを満たす関数 $f,g$ の例を挙げよ. (1) $f\in L^1({\mathbb R})$. (2) $g\in L^2({\mathbb R})$. (3) $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)\;dy$ が可積分で ない $x$ が稠密に存在する. \bigskip [2] $p,q\in(1,\infty)$, $1/p+1/q=1$ とする.さらに $f\in L^p({\mathbb R})$,$g\in L^q({\mathbb R})$とする. (1) $f*g(x)$ がすべての $x$ で定義されることを示せ. (2) $f*g(x)$ が連続であることを示せ. (3) $\displaystyle \lim_{|x|\to\infty} f*g(x)=0$ である ことを示せ. \bigskip [3] $f\in C_0({\mathbb R})$ とする.$\|f\|_\infty=\sup |f(x)|$ であることを示せ. \bigskip [4] $p,q\in(1,\infty)$, $1/p+1/q=1$ とする. $f\in L^p(X)$ に対し,$\displaystyle\sup_{g\in L^q(X),\|g\|_q\le 1} \left|\int_X fg \;d\mu\right|$ を求めよ. \end{document}