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\begin{document}
\centerline{2015年解析学IVa (ターム講義)レポート問題}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

レポート用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．


途中の計算，説明などをきちんと書いてください．

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[1] 空でない集合 $X$ に対し，$B\subset X$, $B\neq\varnothing$,
$B\neq X$ となる $B$ を取る．${\mathcal F}=\{\varnothing, B, B^c, X\}$
とおけばこれは有限加法族である．$m(B)=m(\varnothing)=0$,
$m(B^c)=m(X)=\infty$ とおくと，これは $\mathcal F$ 上の有限加法的測度
である．この $m$ から授業のように作った外測度 $\Gamma$ はどのようなものか，
また $\Gamma$-可測集合はどのようなものか，具体的に記述せよ．

\bigskip
[2] $\mathbb R$から$\mathbb R$への Lebesgue 可測関数 $f(x)$ で，
すべての点で不連続であるものの例を一つあげよ．

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[3] $f$ を ${\mathbb R}^n$ 上の複素数値 Lebesgue 可積分関数とする．
任意の $\varepsilon >0$ に対し $N>0$ が存在して，
$\left|\displaystyle\int_{\{|x|>N\}} f(x)\;dx\right|<\varepsilon$ となる
ことを示せ．

\bigskip
[4] 以下の等式を示せ．
$$\lim_{t\to0}\int_0^\infty 
\frac{\sin tx}{t}(e^x-1)^{-1}\;dx=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}.$$ 

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[5] 自然数の集合の上に適当な測度を入れることにより，無限級数の
理論は Lebesgue 積分の理論の特別な場合とみなすことができる．
これによって，Fatou の補題を無限級数の場合に
適用したらどのようなステートメントになるか，書け．

\end{document}