\magnification=\magstep1 \documentstyle{amsppt} %\baselineskip 14pt \nopagenumbers \define\R{\bold R} \define\Q{\bold Q} \define\Z{\bold Z} \define\N{\bold N} \define\e{\varepsilon} \centerline{解析学IV 小テストNo\. 13 略解・解説} \medskip \rightline{2000年7月18日} \rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)} \rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}} \rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}} \bigskip 今回は問題にミスプリントが多くてすみませんでした. 今回の配点は[1]から順に30, 20$\times2$, 30点で, 平均は17.8点,最高は75点(1人)でした. 採点はTeaching Assistantの勝良君です. 簡単な解説をつけます. \bigskip [1] $\dsize \sum_{k=1}^n |\Phi(E_k)| \le \int_E |f(x)|\;d\mu$ であることは簡単ですから左辺のsupを取っても不等号はこのままです. ここまでで10点です. 逆向きは$f(x)$の値域の方を$\e$きざみの正方形に分割すれば,小さい 正方形上での偏角をほぼ打ち消しあうことができるのでO.K.です. (小さい誤差を許せば正方形は有限個で済み,各正方形の逆像を$E_k$と すればO.K.です.)あるいは単関数での近似でも同様に偏角を 打ち消せます.単純に「実部と虚部に分ければ最初から実数値と してよい」というのは誤りです. \bigskip [2] $\mu(E) < \infty$という条件が最初抜けていて訂正しました. どうもすみません. (1) $\chi_E$が$L^1$なので,平行移動が$L^1$-normについて連続なこと からできます.あるいは同じことですが,$\chi_E$を compact台の連続関数で近似してもできます. (2) $f(0) > 0$なので,$\delta > 0$を $|x| < \delta$ならば$f(x) > 0$であるように取ります. このとき,$|x| < \delta$ならば$x\in\tilde E$であることが わかります. \bigskip [3] 左辺の積分は $$\int_\R \int_R \chi_{A+x}(y)\chi_B(y)\;dy\;dx= \int_\R \int_R \chi_{y-A}(x)\chi_B(y)\;dy\;dx$$ に等しいことが簡単にわかりますが, ここでFubiniの定理を使って積分の順序を入れ替えると, $\mu(A)\mu(B)$が出てきます.Fubiniが使えるのは関数が正値で可測 だからです.この根拠をきちんと述べていないものは20点の減点です. \bye