\magnification=\magstep1 \documentstyle{amsppt} \baselineskip 14pt \nopagenumbers \define\R{\bold R} \define\Q{\bold Q} \define\Z{\bold Z} \define\N{\bold N} \centerline{解析学IV 小テストNo\. 8} \medskip \rightline{2000年6月13日} \rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)} \rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}} \rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}} \bigskip 解答は別紙に書いてください.学生証番号,氏名を一番上に 書いてください.解答用紙の裏面を使用してもけっこうです. 自分のノートを参照してかまいませんが,本は見ないでください. \bigskip [1] $f(x)$を測度空間$(X, \Cal B, \mu)$上の可積分関数で $f(x)\ge 0$となるものとする. $$\lim_{n\to\infty} \int_X n \log\left(1+\left(\frac{f(x)}{n}\right)^\alpha\right)\;d\mu$$ を求めよ.ただし,$\alpha$は$0 < \alpha <\infty$を 満たす定数である. \bigskip [2] $$\int_0^1 \frac{\log x}{1-x}\;dx$$を求めよ. \bigskip [3] $f(x)$は$\R$上有界Lebesgue可測で,$x=0$で連続であるとする. このとき次の極限を求めよ $$\lim_{t\to0+} \frac{1}{\sqrt{\pi t}} \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/t}f(x)\;dx$$ \bye