\magnification=\magstep1 \documentstyle{amsppt} \baselineskip 14pt \nopagenumbers \define\R{\bold R} \define\Q{\bold Q} \define\Z{\bold Z} \define\N{\bold N} \define\e{\varepsilon} \newsymbol\varnothing 203F \centerline{解析学IV 小テストNo\. 11} \medskip \rightline{1997年6月30日} \rightline{河東泰之} \rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}} \rightline{{\tt http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}} \bigskip 自分のノートを参照してよい.(ただし,本は見ないこと.) \bigskip [1] $X=\{1,2,3,4,5\}$とし,$\Cal F$は, $\{\}$, $\{1\}$, $\{2,3\}$, $\{4,5\}$からなる,$X$の部分集合の 集合とする.$\Cal F$を含む最小の単調族を求めよ. \bigskip [2] (1) $\dsize\lim_{N\to\infty}\int_{-N}^N \frac{\sin x}{x}\;dx=\pi$ であることを示せ. (2) $c>0$に対し, $\dsize\lim_{n\to\infty}\int_{|x|>c} \sin nx \frac{\sin (x^{2k})}{x^{2k+1}}\; dx$を求めよ.ただし,$k$は1以上の整数である. (3) $\dsize\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty \sin nx \frac{\sin (x^{2k})}{x^{2k+1}}\;dx$を求めよ. ただし,$k$は1以上の整数である. \bigskip [3] 次のような,区間$[0,1]$関数列$\{f_n(x)\}_n$を構成せよ.ただし考えている 測度はLebesgue測度である. (1) 各$f_n(x)$は区間$[0,1]$上の実数値可積分関数. (2) $n\to\infty$の時, $\dsize\int_0^1 |f_n(x)|\;dx\to 0$. (3) $\dsize\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0$となるような $x\in [0,1]$は存在しない. \bigskip\bigskip 解答は別紙に書いて下さい.解答用紙の裏面を使用してもけっこうです. \bye