\magnification=\magstep1 \documentstyle{amsppt} \baselineskip 14pt \nopagenumbers \define\R{\bold R} \define\Q{\bold Q} \define\Z{\bold Z} \define\N{\bold N} \define\e{\varepsilon} \newsymbol\varnothing 203F \centerline{解析学IV 小テストNo\. 8の簡単な解説} \medskip \rightline{1997年6月16日} \rightline{河東泰之} \bigskip [1] (1) いろいろなやり方がありますが,多分一番簡単なのは $(1-x)^{-1}=1+x+x^2+\cdots$と展開して単調収束定理を 使うことでしょう.(あとは項別に部分積分する.) (2) Lebesgueの収束定理で$\varepsilon\to0$としたあと置換積分すれば (1)に帰着します. \bigskip [2] (1) Fatouのlemmaですぐできます. (2) これは簡単. \bigskip [3] 全滅に近いできだったので,これは詳しく書きます. まず,$f=f_+-f_-$と分けることにより,$f(x)\ge0$として 一般性を失わない. $f(x)$が単関数であれば,結論が成り立つことは明らか. 一般の場合は,$f(x)$に一様収束する単関数の列$\{f_k(x)\}_k$ を取る.($f(x)$が有界なので,授業で 作ったような単関数の近似列は$f(x)$に一様収束している. ここで$f(x)$の有界性を本質的に使っている.) 一方$\mu_n(X)\to\mu(X)$だから,$\mu_n(X) < C$となるような 定数$C$を取っておく.次に$X$上で $|f_k(x)-f(x)| \le \varepsilon/3C$となるような$k$を選ぶ.このとき, $f_k(x)$は単関数だからある$N$が取れて,$n\ge N$の時, $|\dsize\int_X f_k(x)\;d\mu-\dsize\int_X f_k(x)\;d\mu_n| < \varepsilon/3$となる.すると, $\dsize\int_X |f(x)-f_k(x)|\;d\mu \le C\varepsilon/3C$, $\dsize\int_X |f(x)-f_k(x)|\;d\mu_n \le C\varepsilon/3C$, だから, $|\dsize\int_X f(x)\;d\mu-\dsize\int_X f(x)\;d\mu_n| < \varepsilon$となって結論が出る. \bigskip 配点は[1] (1) 20, (2) 20, [2] (1) 20, (2) 10, [3] 30点です. 最高点は90点(1人),平均点は31.7点でした. \bye