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\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\N{\bold N}
\define\ind{\text{ind}}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 1}
\medskip
\rightline{1997年4月14日}
\rightline{河東泰之}

\bigskip
自分のノートを参照してよい．（ただし，本は見ないこと．）

\bigskip [1] $\dsize\int\int_{x^2+y^2\le 1} (x^2+2y^2)^\alpha\;dxdy$が
収束するような実数$\alpha$の範囲を求めよ．

\bigskip [2]
次の条件すべてを満たすような，$\R$上の正値
連続関数の列$\{f_n(x)\}_n$の例を一つあげよ．（その列が本当に
下記の条件を満たしていることをきちんと説明すること．）

(1) すべての$n$に対し，広義積分$\dsize\int_\R f_n(x)\;dx$が
(有限実数として)存在する．

(2) $\R$上，関数列$\{f_n(x)\}_n$は定数関数0に一様収束する．

(3) $\dsize\lim_{n\to\infty} \int_\R f_n(x)\;dx=\infty$.

\bigskip [3]
(1) $\R$上の正値連続関数$f(x)$で，$\dsize\int_\R |f(x)|^2\;dx < \infty$
だが，$\dsize\int_\R |f(x)|\;dx=\infty$となるものの例を一つ挙げよ．

(2) $\R$上の正値連続関数$f(x)$で，$\dsize\int_\R |f(x)|\;dx < \infty$
だが，$\dsize\int_\R |f(x)|^2\;dx=\infty$となるものの例を一つ挙げよ．

ただし,これらの積分は広義積分である.
以上2つのいずれも，その例が本当に条件を満たしていることをきちんと
説明すること．

\bigskip
解答は別紙に書いて下さい．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．

\bye