\magnification=\magstep1 \documentstyle{amsppt} \baselineskip 14pt \nopagenumbers \define\R{\bold R} \define\Q{\bold Q} \define\Z{\bold Z} \define\N{\bold N} \define\ind{\text{ind}} \centerline{解析学IV 小テストNo\. 1} \medskip \rightline{1997年4月14日} \rightline{河東泰之} \bigskip 自分のノートを参照してよい.(ただし,本は見ないこと.) \bigskip [1] $\dsize\int\int_{x^2+y^2\le 1} (x^2+2y^2)^\alpha\;dxdy$が 収束するような実数$\alpha$の範囲を求めよ. \bigskip [2] 次の条件すべてを満たすような,$\R$上の正値 連続関数の列$\{f_n(x)\}_n$の例を一つあげよ.(その列が本当に 下記の条件を満たしていることをきちんと説明すること.) (1) すべての$n$に対し,広義積分$\dsize\int_\R f_n(x)\;dx$が (有限実数として)存在する. (2) $\R$上,関数列$\{f_n(x)\}_n$は定数関数0に一様収束する. (3) $\dsize\lim_{n\to\infty} \int_\R f_n(x)\;dx=\infty$. \bigskip [3] (1) $\R$上の正値連続関数$f(x)$で,$\dsize\int_\R |f(x)|^2\;dx < \infty$ だが,$\dsize\int_\R |f(x)|\;dx=\infty$となるものの例を一つ挙げよ. (2) $\R$上の正値連続関数$f(x)$で,$\dsize\int_\R |f(x)|\;dx < \infty$ だが,$\dsize\int_\R |f(x)|^2\;dx=\infty$となるものの例を一つ挙げよ. ただし,これらの積分は広義積分である. 以上2つのいずれも,その例が本当に条件を満たしていることをきちんと 説明すること. \bigskip 解答は別紙に書いて下さい.解答用紙の裏面を使用してもけっこうです. \bye