\magnification=\magstep1 \documentstyle{amsppt} \baselineskip 14pt \NoBlackBoxes \nopagenumbers \define\R{\bold R} \define\Q{\bold Q} \define\Z{\bold Z} \define\e{\varepsilon} \def\lan{\langle} \def\ran{\rangle} \centerline{数理科学 IV 中間テスト(2)略解・解説} \medskip \rightline{2005年7月11日} \rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)} \rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)} \rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp} \rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}} \bigskip 120点満点です.平均点は72.6点,最高点は120点(1人)でした. \bigskip [1] 10点$\times3$ です.標準的方法でできるので,答えだ書いておきます. (1) Jordan 標準形は $$\left(\matrix 1 & 1 \\ 0 & 1 \endmatrix\right)$$で,最小多項式は $(x-1)^2$です. (2) Jordan 標準形は $$\left(\matrix -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \endmatrix\right)$$で,最小多項式は $(x-2)(x+1)^2$です. (3) Jordan 標準形は $$\left(\matrix 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \endmatrix\right)$$で,最小多項式は $(x-1)^3$です. \medskip [2] 30点です.これも普通の方法でできます. 答えは一つではありませんが,たとえば, $$P =\left(\matrix 1 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \endmatrix\right)$$です.また,(問題では聞いていませんが) Jordan 標準形は $$\left(\matrix -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \endmatrix\right)$$となります. \medskip [3] 30点です.まず固有多項式は $t$にかかわらず, $(x-2)^2(x+1)$となっています.したがって最小多項式が2次式になるとすれば それは$(x+1)(x-2)$しかありえません.これになるようにすると, $t=3$ がわかります. \medskip [4] 30点です.まず $A(x)$ の標準形は $$\left(\matrix 1 & 0 & 0 \\ 0 & x-1 & 0 \\ 0 & 0 & x(x-1) \endmatrix\right)$$となります. $B(x)$ の標準形がこれになるためには,すべての $2\times2$ 行列式の 最大公約多項式が $x-1$ である必要があります.右上の $2\times 2$ 部分に注目して,この行列式が $x-1$ で割れるために $p(1)=1$ が必要です.また行列式が $cx(x-1)^2$ ($c$は0でない定数) の形でなくてはいけないので,$p(x)$ は2次式以上にはなれません. あとは実際に行列式を計算すれば,$p(x)=ax+(1-a), a\neq1$ が必要で, これで十分であることもわかります. \bye