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\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\C{\bold C}
\define\de{\delta}
\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{1999年度3年生解析学VI期末テスト}
\rightline{2000年2月8日}
\rightline{河東泰之}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答は解答用紙に書いてください．
この試験は自筆ノート持ち込み可で行います．

\bigskip [1]
Fatouのlemmaのステートメントを書け．
(ステートメントを書くだけです．
この問題はできても点数は加算されません．不正解の
場合のみ減点します．)

\bigskip [2]
$\R$上の関数$\dfrac{1}{x+i}$のFourier変換を求めよ．

\bigskip [3]
$f(x)\in L^2[0,2\pi)$とし，そのFourier係数$a_n$ ($n\in\Z$)を
$$a_n=\int_0^{2\pi} f(x)e^{-inx}\;dx$$
と定める．$f(x)$を周期$2\pi$の関数として$\R$上の関数に延長する．
このとき自然数$k$について，$f(kx)$のFourier係数を求めよ．

\bigskip [4]
(1) $\varphi(x)\in{\Cal D}(\R)$に対し，次の極限値が存在する
ことを示せ．
$$\lim_{\varepsilon\to 0+}\left(
\int_\varepsilon^\infty \frac{\varphi(x)}{x}\;dx+
\varphi(0)\log\varepsilon\right).$$

(2) $\varphi(x)\in{\Cal D}(\R)$に対し上の極限値を
$\langle T, \varphi \rangle$とおくと，この$T$は超関数を
定めることを示せ．

\bigskip [5]
$f(x)$を，$\R$上の周期$2\pi$の連続関数とする．
これを$[0,2\pi]$上の関数とみなしたときのFourier係数
$a_n$ ($n\in\Z$)を
$$a_n=\int_0^{2\pi} f(x)e^{-inx}\;dx$$
と定める．$f(x)$を$\R$上のtempered distributionと
みなしたときの，そのFourier変換を$a_n$を用いて表せ．

\bigskip [6]
$s\ge 0$, $f(x)\in H^s(\R)$, $g(x)\in C_0^\infty(\R)$
とする．このとき$f(x)g(x)\in H^s(\R)$であることを示せ．

\bye