\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\pagestyle{empty}
\textwidth 15.3cm
\oddsidemargin 0in
\evensidemargin 0in
\textheight 22.3cm
\topmargin 0in
\headsep 0in
\renewcommand{\topfraction}{0.95}
\renewcommand{\bottomfraction}{0.95}
\renewcommand{\textfraction}{0.05}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}

\begin{document}
\centerline{2019年解析学特別演習IIIテスト(3)解答解説}
\medskip
\rightline{2019年11月20日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip
配点は各問25点で，平均点は79.0点，最高点は100点(10人)でした．

\bigskip
[1] 授業でやった通り，$\displaystyle\frac{1}
{\cosh x}$ の Fourier 変換は$\displaystyle\frac{\pi}
{\cosh\displaystyle\frac{\pi}{2}\xi}$ です．
部分積分により，求める答えは
$\left(\displaystyle\frac{\pi i}
{\cosh\displaystyle\frac{\pi}{2}\xi}\right)'$
であり，
$\displaystyle-\frac{\pi^2 i}{2}
\frac{\sinh \displaystyle\frac{\pi}{2}\xi}
{\cosh^2\displaystyle\frac{\pi}{2}\xi}$
となります．

\bigskip
[2] $a>0$ を定数としたとき，
$\displaystyle\frac{1}{a^2+x^2}$ の Fourier 変換は
$\displaystyle\frac{\pi}{a} e^{-a|\xi|}$ です．
このことから，$f(x), g(x)$ の Fourier 変換は
$\displaystyle\frac{\pi}{2} e^{-2|\xi|}$,
$\displaystyle\frac{\pi}{3} e^{-3|\xi|}$ となります．
$f(x), g(x)$ は可積分なので，$f*g(x)$ の Fourier 
変換は 
$\displaystyle\frac{\pi^2}{6} e^{-5|\xi|}$ となります．
これは可積分なので，Fourier 逆変換して，
$f*g(x)=\displaystyle\frac{5\pi}{6(25+x^2)}$ a.e.
を得ます．右辺は連続関数で，また $f$ が有界連続，
$g$ が可積分なことより，Lebesgue の収束定理
によって，左辺も連続関数となります．よって，すべての
$x$ について
$f*g(x)=\displaystyle\frac{5\pi}{6(25+x^2)}$ 
を得ます．

\bigskip
[3] 上の問題と同様にして，$f*f*\cdots *f(x)$ の
Fourier 変換は $\pi^k e^{-k|\xi|}$ です．これを
Fourier 逆変換して，
$f*f*\cdots *f(x)=\displaystyle\frac{k \pi^{k-1}}{k^2+x^2}$
a.e. を得ます．
上の問題と同様の理由で，これはすべての $x$ について
成り立ちます．

\bigskip
[4] まず$\displaystyle\frac{1}{\cosh x}$が$C^\infty$級であること
は明らかです．次に
『$\displaystyle\frac{1}{\cosh x}$ の $n$階微分は
$\displaystyle\frac{\sinh^k x \cosh^{n-k} x}{\cosh^{n+1} x}$
($k=0,1,\dots,n)$ の1次結合である．』
という主張を $n$ についての帰納法で証明します．

$n=0$ については正しくなっています．$n$ で正しいとして，
$n+1$ の場合を示します．
$\displaystyle\frac{\sinh^k x \cosh^{n-k} x}{\cosh^{n+1} x}$
を微分すると，
\[
\frac{k \sinh^{k-1}x\cosh^{n+2-k}
-(k+1)\sinh^{k+1} x \cosh^{n-k}}
{\cosh^{n+2}x}
\]
となるので，帰納法が働きます．
これで『』内の主張が証明できたので，これに$|x|^m$ を
かけて $|x|\to\infty$ としたものを見れば，確かに
$0$ に収束しています．
\end{document}