\magnification=\magstep1 \documentstyle{amsppt} \baselineskip 10pt \NoBlackBoxes \nopagenumbers \define\R{\bold R} \define\Q{\bold Q} \define\Z{\bold Z} \define\T{\bold T} \define\e{\varepsilon} \def\lan{\langle} \def\ran{\rangle} \def\supp{\text{supp}} \def\sgn{\text{sgn}\;} \centerline{解析学特別演習II・小テスト解説 (7)} \rightline{2008年1月30日} \rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)} \rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)} \rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp} \rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}} \bigskip 配点は各問25点です. 平均点は48.1点,最高点は100点(1人)でした. \medskip [1] $(T*\varphi)(x)=\langle T, \tau_x \check\varphi \rangle$ なので, $T$ は,試験関数 $\tau_x \check\varphi$ に $\varphi'(x)$ を対応させて いることになります.これはすなわち,$\varphi$ に対して $-\varphi'(0)$ を 対応させているということです.よって,$T=\delta'$ です. \medskip [2] $T''+T=0$ を Fourier 変換して,$(1-\xi^2) \hat T=0$ を得ます.これは, $\hat T=a \delta_1+b \delta_{-1}$ の形であることを意味します. ($a,b$ は複素定数です.) 逆 Fourier 変換して, $T=a e^{ix} + b e^{-ix}$ となります.($a,b$ は任意の定数なので $2\pi$ は無視しました.) \medskip [3] $\langle T, \tau_x \check\varphi\rangle= \langle 1, \tau_x \check\varphi\rangle$ が任意の試験関数 $\varphi$ に対して成り立つので, $T=1$ です.(右辺は定数関数 $1$ を表しています.) \medskip [4] 超関数として $f$ を2回微分すると, $f''=\delta_{-2}-2\delta_{-1}+2\delta_1-\delta_2$ を得ます.これを Fourier 変換して, $-\xi^2 \hat f(\xi)=e^{2i\xi}-2e^{i\xi}+2e^{-i\xi}-e^{-2i\xi}$ となります. $f,f'$ の Fourier 変換が $L^2$ であることより, $\hat f(\xi)=(4i\sin\xi-2i\sin2\xi)/\xi^2$ となります. これより求める答えは $s < 3/2$ です. \bye