\magnification=\magstep1 \documentstyle{amsppt} \baselineskip 14pt \NoBlackBoxes \nopagenumbers \define\R{\bold R} \define\Q{\bold Q} \define\Z{\bold Z} \define\T{\bold T} \define\e{\varepsilon} \def\lan{\langle} \def\ran{\rangle} \def\supp{\text{supp}} \centerline{解析学特別演習II・小テスト (4)} \rightline{2006年11月20日 10:00--12:15} \rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)} \rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)} \rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp} \rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}} \bigskip この試験はノート持ち込み可で行います. 解答は別紙に書いてください.学生証番号,氏名を一番上に 書いてください. \bigskip [1] Fubini の定理のステートメントを書け.(いろいろな形があるが, 一番単純な形でよい.) \medskip [2] 次のすべての条件を満たす関数 $f(x), g(x)$ の例を挙げよ. 条件を満たしていることをきちんと説明すること. (1) $f,g$ はいずれも $\R$ 上の可測関数だが $L^1(\R)$ の元ではない. (2) すべての $t\in \R$ に対し, $f(t-x)g(x)$ が $x$ の関数として可積分である. (3) $\dsize\int_{-\infty}^\infty f(t-x)g(x)\;dx$ が $t$ の連続関数である. \medskip [3] $[0,2\pi]$ 上の関数 $f(x)=x^2$ について次の問いに答えよ. (1) $f(x)$をFourier級数に展開せよ. (2) (1)の級数は,$f(x)$に各点収束しているか.簡単な理由をつけて答えよ. (3) (1)の級数は,$f(x)$に$L^2$-収束しているか.簡単な理由をつけて答えよ. (4) (1)の級数は,$f(x)$に一様絶対収束しているか.簡単な理由をつけて答えよ. \medskip [4] $f\in L^1(\R)$, $g\in L^2(\R)$ であるとき,$f*g$ の Fourier 変換と, $\hat f \hat g$ はほとんどいたるところ一致することを示せ. \bye