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\define\R{\bold R}
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\define\T{\bold T}
\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{解析学特別演習II・小テスト (6)}
\rightline{2006年12月18日 13:00--14:30}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

この試験はノート持ち込み可で行います．
解答は別紙に書いてください．学生証番号，氏名を一番上に
書いてください．

\bigskip
[1] $f\in L^1(\R)$ で$(f*f)(x)=e^{-x^2}$
となるものをすべて求めよ．

\medskip
[2] $L^p(\R)$, $1 < p < \infty$, の元は
緩増加超関数とみなせることを示せ．

\medskip
[3] 次のすべての条件を満たす$\R$上の超関数 $T,S$ と $C^\infty$-関数
$f$ の組を挙げよ．条件を満たしていることをきちんと示すこと．

(1) 超関数 $fT$ は，ある$C^\infty$-関数(の定める超関数)と一致する．

(2) 超関数 $fS$ は，ある$C^\infty$-関数(の定める超関数)と一致する．

(3) $fT$ を$C^\infty$-関数と思って $S$ にかけた超関数と，
$fS$ を$C^\infty$-関数と思って $T$ にかけた超関数は一致しない．

\medskip
[4] $\e > 0$ に対し，$\dfrac{1}{x+i\e}$, $\dfrac{1}{x-i\e}$
を $\R$ 上の超関数と思ったものをそれぞれ，$T_\e$, $S_\e$ とする．
$\e\to0+$ のとき，$T_\e+S_\e$ の超関数としての極限を求めよ．

\bye