２００６年度幾何学 III 演習問題 １２月５日

定義 [テンソル積] ２つの有限次元ベクトル空間 V, W のテンソル積 V ⊗ W は, V の基底を e_{1}, …, e_{k}, W の基底を f_{1}, …, f_{ℓ} とするとき、 k · ℓ 個の記号 e_{i} ⊗ f_{j}, (i = 1, …, k; j = 1, …,

ℓ) を基底とするベクトル空間として定義される。 V の元 v = ∑_{i=1}^{k} a_{i}e_{i}, W の元 w = ∑_{j=1}^{ℓ} b_{j}f_{j} に

対し、 v ⊗ w = ∑_{i=1}^{k} ∑_{j=1}^{ℓ} a_{i}b_{j}e_{i} ⊗ f_{j} ∈ V ⊗ W が定まる。（加群のテンソル積の特別な場合）２つ

のコホモロジー群 H_{DR}^{∗}(M), H_{DR}^{∗}(N) のテンソル積は、 H_{DR}^{∗}(M) ⊗ H_{DR}^{∗}(N) の次元 p の部分を

⨁_{i=0}^{p} H_{DR}^{i}(M) ⊗ H_{DR}^{p−i}(N) とすることで定まる。

復習問題１． [５項補題] 線形空間と準同型写像の２つの完全列と準同型 F_{i} の可換図式

A_{1}  ⟶  A_{2}  ⟶  A_{3}  ⟶  A_{4}  ⟶  A_{5}
↓ F_{1}  ↓ F_{2}  ↓ F_{3}  ↓ F_{4}  ↓ F_{5}
B_{1}  ⟶  B_{2}  ⟶  B_{3}  ⟶  B_{4}  ⟶  B_{5}

において、 F_{1}, F_{2}, F_{4}, F_{5} が同型写像ならば、 F_{3} は同型写像であることを示せ。

復習問題２． [テンソル積の完全性] \underline{有限次元線形空間}と線形写像の完全列 ⋯ ⟶ A_{0} ⟶ A_{1} ⟶ A_{2} ⟶ A_{3} ⟶ ⋯ と有限次元線形空間 B に対し、テンソル積に自然に引き起こされる写像について、 ⋯ ⟶ A_{0} ⊗ B ⟶ A_{1} ⊗ B ⟶ A_{2} ⊗ B ⟶ A_{3} ⊗ B ⟶ ⋯ は完全列であることを示せ。

問題１．２つの多様体 M, N の直積 M × N に対して、射影 π_{M} : M × N ⟶ M, π_{N} : M × N ⟶ N を考えると M の閉 p 形式 α, N の閉 q 形式 β に対して、 M × N 上の閉 p+q 形式 π_{M}^{∗}α∧π_{N}^{∗}β が得られる。これは準同型 H_{DR}^{p}(M)⊗H_{DR}^{q}(N) ⟶ H_{DR}^{p+q}(M ×N) を与えることを示せ。

定理 [キネットの公式] ２つのコンパクト多様体 M, N に対し、 H_{DR}^{∗}(M ×N) ≅ H_{DR}^{∗}(M)⊗ H_{DR}^{∗}(N) である。さらに、 M 上の閉微分 p 形式 α, N 上の閉微分 q 形式 β に対し、 [α]⊗[β] ∈ H_{DR}^{p}(M)⊗H_{DR}^{q}(N) は [π_{M}^{∗}α∧π_{N}^{∗}β] ∈ H_{DR}^{p+q}(M×N) に対応する。ここで π_{M} : M×N ⟶ M, π_{N} : M × N ⟶ N は射影である。

問題１． N = S^{k} のとき、キネットの公式を証明せよ。

ヒント： k についての帰納法。 S^{k+1} = N_{1} ∪ N_{2}, N_{1} ≅ N_{2} ≅ R^{k+1}, N_{12} = N_{1} ∩ N_{2} ≅ S^{k} × R とし、これに対するマイヤー・ビエトリス完全列に H_{DR}^{∗}(M) をテンソル積した（完全）列を考える。この列から、 M × S^{k+1} = (M × N_{1}) ∪ (M × N_{2}) に対するマイヤー・ビエトリス完全列への準同型について５項補題を使う。

↓  ↓
H_{DR}^{p−1}(M) ⊕ H_{DR}^{p−1}(M)  ⟶ H_{DR}^{p−1}(M) ⊕ H_{DR}^{p−1}(M)
↓  ↓
⨁_{i=0}^{p−1} H_{DR}^{i}(M) ⊗ H_{DR}^{p−1−i}(S^{k}) ⟶  H_{DR}^{p−1}(M × S^{k})
↓  ↓
⨁_{i=0}^{p} H_{DR}^{i}(M) ⊗ H_{DR}^{p−i}(S^{k+1}) ⟶  H_{DR}^{p}(M × S^{k+1})
↓  ↓
H_{DR}^{p}(M) ⊕ H_{DR}^{p}(M)  ⟶ H_{DR}^{p}(M) ⊕ H_{DR}^{p}(M)
↓  ↓
⨁_{i=0}^{p} H_{DR}^{i}(M) ⊗ H_{DR}^{p−i}(S^{k}) ⟶  H_{DR}^{p}(M × S^{k})
↓  ↓

問題２．一般の N に対するキネットの公式を証明せよ。

ヒント：多様体 N に対して、 ∅ = N_{0} ⊂ N_{1} ⊂ ⋯ ⊂ N_{k} = N, N_{j} = N_{j−1} ∪ B_{j} (0 < j ≦ k), B_{j} は n 次元開球体 B^{n} と微分同相で, N_{j−1} ∩ B_{j} は空集合または m_{j} 次元の球面 S^{m_{j}} と n − m_{j} 次元開球体 B^{n−m_{j}} の直積 B^{n−m_{j}} × S^{m_{j}} に微分同相である (0 ≦ m_{j} ≦ n − 1) という分解がとられているとする。 M × N_{j−1} に対して、定理の主張が正しいと仮定して、 M × N_{j} に対する主張を証明する。

↓  ↓
⨁_{i=0}^{p−1} H_{DR}^{i}(M) ⊗ H_{DR}^{p−1−i}(N_{j−1}) ⊕ H_{DR}^{p−1}(M) ⟶ H_{DR}^{p−1}(M × N_{j−1}) ⊕ H_{DR}^{p−1}(M × B_{j})
↓  ↓
⨁_{i=0}^{p−1} H_{DR}^{i}(M) ⊗ H_{DR}^{p−1−i}(S^{m_{j}}) ⟶ H_{DR}^{p−1}(M × (N_{j−1} ∩ B_{j}))
↓  ↓
⨁_{i=0}^{p} H_{DR}^{i}(M) ⊗ H_{DR}^{p−i}(N_{j}) ⟶ H_{DR}^{p}(M × N_{j})
↓  ↓
⨁_{i=0}^{p} H_{DR}^{i}(M) ⊗ H_{DR}^{p−i}(N_{j−1}) ⊕ H_{DR}^{p}(M)  ⟶ H_{DR}^{p}(M × N_{j−1}) ⊕ H_{DR}^{p}(M × B_{j})
↓  ↓
⨁_{i=0}^{p} H_{DR}^{i}(M) ⊗ H_{DR}^{p−i}(S^{m_{j}}) ⟶ H_{DR}^{p}(M × (N_{j−1} ∩ B_{j}))
↓  ↓

定義 [カップ積] 対角写像が誘導する準同型写像 H_{DR}^{∗}(M) ⊗ H_{DR}^{∗}(M) ≅ H^{∗}(M × M) ⟶^{diag^{∗}} H_{DR}^{∗}(M) が、各 p, q に対して定める双線形写像 ∪ : H_{DR}^{p}(M) × H_{DR}^{q}(M) ⟶ H_{DR}^{p+q}(M) をカップ積と呼ぶ。

問題４． M の閉 p 形式 α, 閉 q 形式 β に対し、 [α ∧ β] = [α] ∪ [β] が成立することを示せ。